- Sustituir variables
Recuerda que a una función se le puede meter cualquier cosa que se encuentre en el dominio y que la ecuación funcional se cumple para todo valor en el dominio. Un primer gran paso es encontrar el valor de algunos puntos de la función, por ejemplo, $f(0)$, $f(1)$. Intenta intercambiar $x,y$ para ver si hay simetria, o ver que pasa si $x=y$,$x=-y$. Hay muchas sustituciones posibles que pueden resolver la ecuación, pero intenta hacer sustituciones útiles primero. Por ejemplo, si aparece en algún lado $f(x+y)$ es natural hacer $x=-y$ para que ese término se convierta en $f(0)$, o si aparece algo del estilo $f(xy)$, hacer alguna de las variables igual a $0$ te puede ayudar a que aparezca $f(0)$ y hacer $y=1$ hace que ese término se vuelva $f(x)$.
- Analiza las propiedades de la función y utilizalas
Intenta averiguar las propiedades de la función. Algunos ejemplos:
- Si obtienes que $f(x)=f(-x)$ entonces la función es par, esto te ayuda a reducir casos ya que cuando es par solo hay que considerar a los positivos.
- Obtener $f(-x)=-f(x)$ nos dice que la función es impar, lo cual nos ayuda a manipular la ecuación cuando utilizamos valores negativos (evaluar en -x ayuda aqui).
- Obtener algo del estilo $f(x)=f(x+a)$ nos dice que la función es periodica, es decir que se repite, ¿Qué funciones periodicas conoces?.
- ¿Es suprayectiva e inyectiva?, entonces es biyectiva. Recuerda que las funciones biyectivas tienen función inversa. La suprayectividad o la inyectividad por si solas tambien son propiedades útiles. Si es inyectiva entonces se cumple que "Si $f(a)=f(b)$ entonces $a=b$". Si es suprayectiva entonces se cumple que para toda $y$ en el rango, existe una $x$ en el dominio que cumple $f(x)=y$.
- Determina si la función es monotona (creciente o decreciente, ya sea estricta o no estricta)
- Averigua si la ecuación es simétrica. Una ecuación es simétrica si al intercambiar $x$ con $y$ obtienes la misma ecuación.
- Utiliza inducción y recurrencia
Esto es particularmente útil en los problemas con los problemas en los enteros. Intenta ver que pasa con $f(n),f(n+1), \cdots$. Recuerda que como toda inducción debes tener una base de inducción. Intenta obtener $f(n)$ en términos de valores anteriores. Ejemplo: Si obtienes que $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$ o $f(n)=f(n-1)+1$, ¿Que sospecharías?
- Iteraciones sucesivas
A veces es necesario ver que pasa con iteraciones de la misma función $f(f(x)),f(f(f(x))), \cdots$. Para ver esto se puede sustuir por una función, es decir sustituir $x$ por $f(x)$. O bien, aplicar $f$ a la ecuación funcional. Esto es muy útil cuando en la ecuación funcional ya aparece alguna función dentro de otra función, por ejemplo algo del estilo $f(f(x))$ o $f(x+f(y))$.
- Funciones auxiliares
Introducir una nueva función $g$ cambiar la ecuación funcional en términos de $g$ puede simplificar la ecuación. Algunas ideas para hacer esto:
- Hacer $g(x)=f(x)-f(0)$ tiene la propiedad de que $g(0)=0$ independientemente de la forma de $f(x)$ y además hay muchos casos en los que deja la ecuación exactamente igual.
- Hacer $g(x)=f(x)/x$
- $g(x)=f(x)-x$
- $g(x)=xf(x)$
No hay función mágica $g$ que resuelva toda ecuación funcional. Es la intuición lo que nos dice que hacer, alguna vez llegué a usar $g(x)=f(x)-x^3$ y $g(x)=ln(f(x))$ (ln es logaritmo natural)
- Raices, puntos fijos
Intenta averiguar para que valores de $x$ se tiene que $f(x)=0$ (esto es una raíz) o que $f(x)=x$ (esto es un punto fijo). ¿Hay raices y puntos fijos?,¿Cuantas hay?, ¿Cuando ocurren?. Fijarse en esto te puede dar una idea de la función que cumple.
- Poner en términos de alguna constante
A veces la solución de la ecuación funcional esta en términos de algun valor fijo de $f$, por ejemplo en términos de $f(0)$ o de $f(1)$. Hacer $f(0)=c$ o $f(1)=c$ puede ser útil en estos casos, y después determinar si $c$ es una constante cualquiera, o una constante especifica. Si efectivamente encuentras una solución de $f$ en términos de algun valor fijo, no es necesario encontrar ese valor, lo único que nos dice es que es la solución tiene una constante cualquiera. Pero recuerda comprobar en la ecuación para saber efectivamente era una constante cualquiera o una constante especifica.
- Ecuaciones favoritas
Recuerda funciones simples, y sus propiedades. La gran mayoría de las ecuaciones funcionales tienen respuesta con funciones muy simples. Si notas que la ecuación cumple cosas muy similares, entonces comienza a sospechar. Por ejemplo $f(x)= \frac{1}{x}$ satisface que $f(f(x))=x$. ¿Que propiedades satisfacen seno,coseno y tangente?¿Conoces los logaritmos y sus propiedades?¿Qué reglas cumplen los exponentes?
- Ingenio, intuición, creatividad, no tomes las recomendaciones como fórmula mágica, etc
Recuerda que siguen siendo problemas de olimpiada, y como tales son muy diferentes entre si. Por lo que deberás usar tu ingenio para resolver estos problemas. Las recomendaciones aqui dadas son útiles, pero no resolverán todos los problemas.
En la siguiente parte:
La ecuación funcional de Cauchy, y planteando problemas de olimpiada diversos como ecuaciones funcionales.
- Practica, practica, practica,...
Como mencioné en la parte anterior, este tipo de problemas no son amigables para los novatos. La mejor manera de entender es arrastrando el lápiz, e intentar muchos problemas. Con la práctica y la experiencia, se tiene una mejor idea de que cosas son útiles y que cosas no.
- COMPROBAR SIEMPRE
Es posible que en tu análisis encuentres muchas posibles soluciones, pero deberás comprobar siempre que las soluciones que propones cumplen la ecuación funcional. Si no incluyes este detalle, será un problema incompleto, muchas veces no hacer esto cuesta $1$ o $2$ puntos dependiendo de que tan facil o dificil es comprobar la ecuación.
Como ejemplo voy a poner la solución del problema 1 y 3 de la parte 1 (Con comentarios!!):
Problema 1.
Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R}-\{0\} \mapsto \mathbb{R}-\{0\}$ que satisfacen para toda $x \in \mathbb{R}-\{0\}$ la siguiente ecuación
\[xf(x)+2xf(-x)=-1\]
Solución:
Notemos primero que no podemos evaluar en $0$ ya que esta fuera del dominio, y si evaluamos en algun valor especifico no obtenemos mucha información. Por ejemplo evaluar $x=1$ obtienes:
\[f(1)+2f(-1)=-1\]
Lo cual no nos dice mucho. Donde hay que atacar y sospechar es en los signos, porque aparece $f(x)$ y $f(-x)$, entonces eso nos da pistas para evaluar en $x=-x$ (aqui con $x=-x$, no me refiero a una ecuación, sino que estoy evaluado la ecuación en $-x$). Recordemos que la ecuación funcional se cumple para toda $x$, por lo que realmente podemos sustituir con lo que queramos. Al hacer esta evaluación obtenemos
\[-xf(-x)-2xf(x)=-1\]
\[xf(-x)+2xf(x)=1\]
Ahora notemos que en la ecuación original y en la nueva ecuación aparecen tanto $xf(x)$ como $xf(-x)$ por lo que realmente son dos ecuaciones con dos incognitas y se puede resolver con su técnica favorita de secundaria (suma y resta, sustitución, igualación, etc). Haciendo $a=xf(x)$ y $b=xf(-x)$ entonces:
\[a+2b=-1\]
\[2a+b=1\]
Resolvemos esto y obtenemos que $a=1$, es decir, $xf(x)=1$ por lo tanto $f(x)=1/x$. Esta es nuestra única posibilidad, pero debemos asegurarnos que cumpla la ecuación funcional original.
\[ x\frac{1}{x} - 2x\frac{1}{x} = -1\]
\[1-2=-1\]
Problema 3.
Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que para toda $x,y \in \mathbb{R}$ satisfacen
\[f(x)f(y)=f(x+y)+xy\]
El término no funcional $xy$ es muy sospechoso, a veces problemático, pero la manera más fácil de quitarlo es evaluando en $0$. Evaluamos $x=y=0$ y entonces
\[f(0)^2=f(0)\]
Un error muy comun es argumentar que "como hay $f(0)$ de los dos lados divido entre ambos lados por $f(0)$", pero ¿Que tal si $f(0)=0$? entonces no podriamos dividir de ambos lados. Pero cuando $f(0) \neq 0$, entonces si podemos dividir, obteniendo $f(0)=1$. Por lo tanto tenemos dos casos: $f(0)=0$ y $f(0)=1$.
Caso $f(0)=0$
Ahora ya tenemos un valor de $f(0)$ hay que aprovecharlo. Evaluamos $y=0, x=x$
\[f(x)f(0)=0=f(x)+0\]
Entonces tenemos que para toda $x$ se cumple que $f(x)=0$ por lo que es una posible solución. Si la comprobamos tenemos que
\[0 \times 0 = 0 + xy\]
Pero entonces tendriamos que $xy=0$ para toda $x,y$ lo cual no es cierto. Con esto vemos la importancia de comprobar las soluciones. Si no hubieramos comprobado nos habriamos quedado con una solución falsa.
Caso $f(0)=1$
Ahora notemos que evaluar solamente $x=0$ o $y=0$ no nos da información, ya que obtendriamos la maravillosa ecuación $f(x)=f(x)$. Pero hay muchas maneras de involucrar a $f(0)$ sin evaluarla directamente. Notemos el término $f(x+y)$, hacer la sustitución $x=-y$ es una forma de que aparezca $f(0)$ ahi. Haciendo esto obtenemos:
\[f(x)f(-x)=f(0)-x^2=1-x^2\]
Un valor de $x$ que parece ser útil entonces sería $x=1$, ya que esto provoca que el lado derecho sea $0$. Entonces ahora evaluamos $x=1$ y obtenemos
\[f(1)f(-1)=0\]
Esto último nos dice que hay de dos: $f(1)=0$ o $f(-1)=0$. De nuevo dividimos en casos:
Caso $f(1)=0$
Hay que explotar nuestra nueva información. Usando $y=1,x=x-1$ obtenemos:
\[f(x-1)f(1)=f(x)+x-1\]
Pero el lado izquierdo es $0$, asi que manipulando un poco obtenemos:
\[f(x)=1-x\]
Comprobando:
\[(1-x)(1-y)=1-x-y+xy\]
Caso $f(1)=0$
Muchas veces los casos son análogos, solamente tienes que hacer lo que ya hiciste. Hacemos $y=-1,x=x+1$
\[f(x+1)f(-1)=f(x)-(x+1)\]
\[f(x)=x+1\]
\[(1+x)(1+y)=1+x+y+xy\]
Como ya agotamos todos los casos y ya comprobamos las únicas posibilidades, entonces ya acabamos.
Problemas:
Problema 4. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisfacen las tres siguientes condiciones:
\[f(2)=2\]
\[f(mn)=f(m)f(n), \forall m,n \in \mathbb{N}$\]
\[m \textless n \rightarrow f(m) \textless f(n) \]
Problema 5. ¿Existiran funciones $f,g: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ que satisfacen:
\[f(g(x))=x\]
\[g(f(x))=x^2\]
Para toda $x \in \mathbb{R}$?
Problema 6. Una función continua es aquella que no tiene saltos repentinos, y huecos en su gráfica (Una definición informal, pero es suficiente para el problema).
Encuentre todas las funciones continuas $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ que cumplan
\[f(x)f(y)=f(x-y)\]
Problema 7. Encuentre todas las funciones continuas $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ que cumplan
\[xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y)\]
Problema 8. Sea $\lfloor x \rfloor$ la función piso.
Determina todas las funciones $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que se cumpla
\[f(\lfloor x \rfloor y) = f(x) \lfloor f(y) \rfloor \]
Problema 9. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{Q} \mapsto \mathbb{Q}$, que cumplan:
\[f(x+y)=f(x)+f(y)\]
Solución:
Notemos primero que no podemos evaluar en $0$ ya que esta fuera del dominio, y si evaluamos en algun valor especifico no obtenemos mucha información. Por ejemplo evaluar $x=1$ obtienes:
\[f(1)+2f(-1)=-1\]
Lo cual no nos dice mucho. Donde hay que atacar y sospechar es en los signos, porque aparece $f(x)$ y $f(-x)$, entonces eso nos da pistas para evaluar en $x=-x$ (aqui con $x=-x$, no me refiero a una ecuación, sino que estoy evaluado la ecuación en $-x$). Recordemos que la ecuación funcional se cumple para toda $x$, por lo que realmente podemos sustituir con lo que queramos. Al hacer esta evaluación obtenemos
\[-xf(-x)-2xf(x)=-1\]
\[xf(-x)+2xf(x)=1\]
Ahora notemos que en la ecuación original y en la nueva ecuación aparecen tanto $xf(x)$ como $xf(-x)$ por lo que realmente son dos ecuaciones con dos incognitas y se puede resolver con su técnica favorita de secundaria (suma y resta, sustitución, igualación, etc). Haciendo $a=xf(x)$ y $b=xf(-x)$ entonces:
\[a+2b=-1\]
\[2a+b=1\]
Resolvemos esto y obtenemos que $a=1$, es decir, $xf(x)=1$ por lo tanto $f(x)=1/x$. Esta es nuestra única posibilidad, pero debemos asegurarnos que cumpla la ecuación funcional original.
\[ x\frac{1}{x} - 2x\frac{1}{x} = -1\]
\[1-2=-1\]
Problema 3.
Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que para toda $x,y \in \mathbb{R}$ satisfacen
\[f(x)f(y)=f(x+y)+xy\]
El término no funcional $xy$ es muy sospechoso, a veces problemático, pero la manera más fácil de quitarlo es evaluando en $0$. Evaluamos $x=y=0$ y entonces
\[f(0)^2=f(0)\]
Un error muy comun es argumentar que "como hay $f(0)$ de los dos lados divido entre ambos lados por $f(0)$", pero ¿Que tal si $f(0)=0$? entonces no podriamos dividir de ambos lados. Pero cuando $f(0) \neq 0$, entonces si podemos dividir, obteniendo $f(0)=1$. Por lo tanto tenemos dos casos: $f(0)=0$ y $f(0)=1$.
Caso $f(0)=0$
Ahora ya tenemos un valor de $f(0)$ hay que aprovecharlo. Evaluamos $y=0, x=x$
\[f(x)f(0)=0=f(x)+0\]
Entonces tenemos que para toda $x$ se cumple que $f(x)=0$ por lo que es una posible solución. Si la comprobamos tenemos que
\[0 \times 0 = 0 + xy\]
Pero entonces tendriamos que $xy=0$ para toda $x,y$ lo cual no es cierto. Con esto vemos la importancia de comprobar las soluciones. Si no hubieramos comprobado nos habriamos quedado con una solución falsa.
Caso $f(0)=1$
Ahora notemos que evaluar solamente $x=0$ o $y=0$ no nos da información, ya que obtendriamos la maravillosa ecuación $f(x)=f(x)$. Pero hay muchas maneras de involucrar a $f(0)$ sin evaluarla directamente. Notemos el término $f(x+y)$, hacer la sustitución $x=-y$ es una forma de que aparezca $f(0)$ ahi. Haciendo esto obtenemos:
\[f(x)f(-x)=f(0)-x^2=1-x^2\]
Un valor de $x$ que parece ser útil entonces sería $x=1$, ya que esto provoca que el lado derecho sea $0$. Entonces ahora evaluamos $x=1$ y obtenemos
\[f(1)f(-1)=0\]
Esto último nos dice que hay de dos: $f(1)=0$ o $f(-1)=0$. De nuevo dividimos en casos:
Caso $f(1)=0$
Hay que explotar nuestra nueva información. Usando $y=1,x=x-1$ obtenemos:
\[f(x-1)f(1)=f(x)+x-1\]
Pero el lado izquierdo es $0$, asi que manipulando un poco obtenemos:
\[f(x)=1-x\]
Comprobando:
\[(1-x)(1-y)=1-x-y+xy\]
Caso $f(1)=0$
Muchas veces los casos son análogos, solamente tienes que hacer lo que ya hiciste. Hacemos $y=-1,x=x+1$
\[f(x+1)f(-1)=f(x)-(x+1)\]
\[f(x)=x+1\]
\[(1+x)(1+y)=1+x+y+xy\]
Como ya agotamos todos los casos y ya comprobamos las únicas posibilidades, entonces ya acabamos.
Problemas:
Problema 4. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisfacen las tres siguientes condiciones:
\[f(2)=2\]
\[f(mn)=f(m)f(n), \forall m,n \in \mathbb{N}$\]
\[m \textless n \rightarrow f(m) \textless f(n) \]
Problema 5. ¿Existiran funciones $f,g: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ que satisfacen:
\[f(g(x))=x\]
\[g(f(x))=x^2\]
Para toda $x \in \mathbb{R}$?
Problema 6. Una función continua es aquella que no tiene saltos repentinos, y huecos en su gráfica (Una definición informal, pero es suficiente para el problema).
Encuentre todas las funciones continuas $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ que cumplan
\[f(x)f(y)=f(x-y)\]
Problema 7. Encuentre todas las funciones continuas $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ que cumplan
\[xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y)\]
Problema 8. Sea $\lfloor x \rfloor$ la función piso.
Determina todas las funciones $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que se cumpla
\[f(\lfloor x \rfloor y) = f(x) \lfloor f(y) \rfloor \]
Problema 9. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{Q} \mapsto \mathbb{Q}$, que cumplan:
\[f(x+y)=f(x)+f(y)\]
En la siguiente parte:
La ecuación funcional de Cauchy, y planteando problemas de olimpiada diversos como ecuaciones funcionales.
