viernes, 30 de julio de 2010

Guia para usar LaTeX

Para poner un codigo en LaTeX basta ponerlo entre signos de $, si lo pones entre doble signo de $ saldra en linea pero con letra mas grande y para ponerlo grande y centrado hay que ponerlo asi hay que usar $\backslash [ codigolatex \backslash]$

Aqui hay una guia en otro sitio que esta muy buena http://www.matetam.com/de-consulta/acordeones/latex

Si ves alguna expresión matemática en este blog y quieres saber como se escribió, solo basta poner el cursor encima de la expresión matemática y saldrá el código LaTeX que se usó para esa formula.

Aqui un ejemplo:
\[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Es la formula general para las ecuaciones cuadráticas, es decir de la forma $ax^2+bx+c=0$

Pueden hacer experimentos con los comentarios de este post.

Ademas aqui esta una pagina con mas ejemplos:
http://www.watchmath.blogspot.com/

162 comentarios:

  1. Para que vean todavia mas ejemplos de $\LaTeX{}$, les voy a demostrar la formula general de las cuadraticas.

    Tenemos $ax^2+bx+c=0$, dividimos todo entre $a$ \[x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0\]
    Dejamos todo lo que tiene x de un lado:
    \[x^2+\frac{bx}{a}=-\frac{c}{a}\]
    Completamos el cuadrado:
    \[x^2+\frac{bx}{a}+ \frac{b^2}{4a} =-\frac{c}{a}+ \frac{b^2}{4a}\]
    Factorizamos y juntamos fracciones:
    \[\left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\]
    Sacamos raiz de ambos lados:
    \[ x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\]
    Despejamos x y juntamos fracciones:
    \[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

    Q.E.D

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  2. probado latex $\frac{a}{b}\leq\frac{1}{2}$

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  3. \[\binom{2}{2} + \binom{3}{2} + \dots + \binom{n+1}{2}\]

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  4. $(b+1)^2=3^2$
    $b+1=3$ $b=2$ y $\frac{a}{2}=50$ $a=100$

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  5. $(b+1)^2=15^2$
    $b+1=15$
    $b=14$
    $\frac{a}{14}=2$
    $a=28$

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  6. \[\frac{\frac{A^{2}}{\sqrt{B}}}{C}= \frac{CA^{2}}{\sqrt{B}}\]

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  7. Y en general...cuanto seria?
    Si:

    1) $N=2^\alpha \times 5^\beta$

    2) $N=p_1^{\alpha_1} \times ... \times p_k^{\alpha_k}$

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  8. $\frac{1}{OX} = \frac{1}{Y} + \frac{1}{Z}$

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  9. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  10. \[\sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{a}\sum_{c=0}^{14}\]

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  11. \[\sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\]

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  12. \[\sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{a}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\]

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  13. \[\sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}(\frac{1}{3^a^+^b^+^c})\]

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  14. \[\sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\]

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  15. \[\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}(\frac{1}{3^a^+^b^+^c})\]

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  17. \[\sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}\frac{1}{3^a^+^b^+^c}\]

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  18. \[\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}(\frac{1}{3^a^+^b^+^c})\]

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  19. \[\frac{15-c}{15} \binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b} \frac{1}{3^a^+^b^+^c}\]

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  20. \[\sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}\frac{1}{3^a3^b3^c}\]

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  21. Conclusiones, bibliografía.
    \[\sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}\frac{1}{3^a3^b3^c}\f{a+b+c}\]

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  22. Conclusiones, bibliografía.
    \[\sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}\frac{1}{3^a3^b3^c}f(a+b+c)\]

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  23. \[\sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}\frac{1}{3^a3^b3^c}f(a+b+c)\]

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  24. Encontraremos todos los datos que se pueden obtener del problema. Primero que nada. En la recta $l$, colocaremos $Z$ de tal manera que $C$ quede entre $E$ y $Z$.

    Sabiendo que: angulo inscrito = angulo seminscrito. $\angle BCZ = \angle CAN=\delta$. Y teniendo que $EF$ es paralela a $BC$, $\angle BAC = \delta$.

    Con esta misma regla: $\angle ECG = \angle CBN = \beta$.
    Tambien podemos observar que: $\angle CFE = \angle BCF = \alpha$.
    Y, $\angle ACB = \angle CGF =\angle CGE = 90$.
    Podemos decir que $\delta = 90-\beta$.
    Con esto podemos decir por ejemplo, $\triangle BCN \equiv \triangle CEG$.
    Entonces, $\delta = \ alpha$.
    Siendo asi, $\triangle CEF$ es isosceles. Y, $CG$, es altura y mediana.

    Con esto queda comprobado que, $EG = GF$

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  25. Bueno mi solución no es mas que desarrollar la ecuación hasta llegar a un punto donde podemos afirmar que la suposición es cierta.

    Para no hacer la respuesta tan larga, pondré el desarrollo de la formula de forma consecutiva sin exponer explicaciones.

    $\sqrt{4n^2+n} = \sqrt{n(4n+1)} = \sqrt{n} \sqrt{4n+1} = \sqrt{n} \sqrt{4(n+\frac{1}{4}} = \sqrt{n} \sqrt{4} \sqrt{n+\frac{1}{4}} = 2\sqrt{n} \sqrt{n+\frac{1}{4}} = 2\sqrt{n} \sqrt{n(1+\frac{1}{4n}} = 2\sqrt{n} \sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{4n}} = 2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}}$

    2n es entero. Tenemos \sqrt{1+\frac{1}{4n}}, lo que sera raíz de 1 mas una fracción. El valor mas grande que puede tener esa fracción es cuando $n=1$. Entonces el valor mas grande que puede haber en esa raíz es $1 + \frac{1}{4}$. A lo que, resolviendo la raíz, la parte no entera del resultado de ésta es menor a $\frac{1}{4}$. Por lo tanto, entre mas grande es $n$, mas pequeño es el valor de la fracción dentro de la raíz, y por ende su raíz cuadrada sera aun mas pequeña que $\frac{1}{4}$.

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  26. Bueno mi solución no es mas que desarrollar la ecuación hasta llegar a un punto donde podemos afirmar que la suposición es cierta.

    Para no hacer la respuesta tan larga, pondré el desarrollo de la formula de forma consecutiva sin exponer explicaciones.

    $\sqrt{4n^2+n} = \sqrt{n(4n+1)} = \sqrt{n} \sqrt{4n+1} = \sqrt{n} \sqrt{4(n+\frac{1}{4})} = \sqrt{n} \sqrt{4} \sqrt{n+\frac{1}{4}} = 2\sqrt{n} \sqrt{n+\frac{1}{4}} = 2\sqrt{n} \sqrt{n(1+\frac{1}{4n})} = 2\sqrt{n} \sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{4n}} = 2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}}$

    2n es entero. Tenemos $\sqrt{1+\frac{1}{4n}}$, lo que sera raíz de 1 mas una fracción. El valor mas grande que puede tener esa fracción es cuando $n=1$. Entonces el valor mas grande que puede haber en esa raíz es $1 + \frac{1}{4}$. A lo que, resolviendo la raíz, la parte no entera del resultado de ésta es menor a $\frac{1}{4}$. Por lo tanto, entre mas grande es $n$, mas pequeño es el valor de la fracción dentro de la raíz, y por ende su raíz cuadrada sera aun mas pequeña que $\frac{1}{4}$.

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  27. Me di cuenta de que mi solución no queda del todo demostrada. Olvidemos el ultimo párrafo.

    Tenemos $2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}}$. 2n ya es entero. Podemos decir que $\sqrt{1+\frac{1}{4n}}$, siempre sera igual a $1+z$, donde $z$ es igual a cualquier numero no entero positivo dependiendo el valor de $n$. Esto porque, si $\sqrt{4} = 2$ y $\sqrt{1} = 1$; $\sqrt{1+\frac{1}{4n}}$ esta entre estas dos raíces, y siempre sera igual a $1+z$.

    Entonces sustituimos en la ecuación, $2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}}$ = $2n (1+z) = 2n(2nz)$. $2nz$ sera nuestra parte no entera. Entonces, $2nz$ tiene que ser menor a $\frac{1}{4n}$.
    Realizamos: $2nz < \frac{1}{4n}$, $z < \frac{1}{8n}$. $z$ siempre sera menor a $\frac{1}{8n}$, y $\frac{1}{8n} < \frac{1}{4}$ siempre que n es entero positivo.

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  28. $\color{red} \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}$

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  29. $\color{green} \text{Y tambien hay verde =D}$

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  30. $\color{orange} \text{de cuales hay?}$
    $\color{yellow} \text{de cuales hay?}$
    $\color{brown} \text{de cuales hay?}$
    $\color{gray} \text{de cuales hay?}$
    $\color{pink} \text{de cuales hay?}$

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  31. quiero saber hacer esto =O

    \[\usepackage[all]{xy}\xymatrix@C+2em@R+2em{Q \ar@/_10pt/[ddr]_{q_1} \ar@/^10pt/[drr]^{q_2} \ar@{-->}[dr]|*+<3pt,3pt>{\scriptstyle u} & & \\& P \ar[d]_(0.4){p_1} \ar[r]^(0.4){p_2} & Y \ar[d]^{g}\\& X \ar[r]_{f} & Z}\]

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  32. $\color{yellow} \text{Son los que estan en la diagonal que va del cuadrito superior derecho al inferior izquierdo}$
    $\color{green} \text{Esto lo voy a demostrar por induccion para una cuadricula de} 2^n \text{. En la de} 2^{n+1} \text{giramos los cuatro cuadros de} 2^n \text{.}$
    $\color{blue} \text{Ahora vemos que en los cuadritos de} 2^n \text{de arriba a la izquierda y abajo a la derecha, al terminar de realizar los pasos, por induccion, los que queden en la diagonal que pide el problema son los que originalmente estaban en la otra diagonal. Y al regresarnos al paso que ya habiamos hecho los de estas diagonales son la diagonal de la cuadricula de} 2^{n+1}$
    $\color{red} \text{La base de induccion es cuando} n=1$
    $\color{red} \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}$
    $\color{red} \text{Y vemos que la hipotesis en este caso si se cumple, por lo tanto para el caso especifico de} n=5 \text{que pide el problema tambien se cumple/}$
    $\color{magenta} \text{Entonces la respuesta es los numeros de la forma} 31k+1 \text{con} 1 \leq k \leq 32$

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  33. $\color{yellow} \text{Son los que estan en la diagonal que va del cuadrito superior derecho}$
    $\color{yellow} \text{al inferior izquierdo}$
    $\color{green} \text{Esto lo voy a demostrar por induccion para una cuadricula de } 2^n \text{.}$
    $$\color{green} \text{En la de } 2^{n+1} \text{ giramos los cuatro cuadros de } 2^n \text{.}$
    $\color{blue} \text{Ahora vemos que en los cuadritos de} 2^n \text{de arriba a la izquierda y abajo a}$
    $\color{blue} \text{la derecha, al terminar de realizar los pasos, por induccion, los que}$
    $\color{blue} \text{queden en la diagonal que pide el problema son los que originalmente}$
    $\color{blue} \text{estaban en la otra diagonal. Y al regresarnos al paso que ya habiamos}$
    $\color{blue} \text{hecho los de estas diagonales son la diagonal de la cuadricula de } 2^{n+1}$
    $\color{red} \text{La base de induccion es cuando} n=1$
    $\color{red} \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}$
    $\color{red} \text{Y vemos que la hipotesis en este caso si se cumple, por lo tanto para}$
    $\color{red} \text{el caso especifico de } n=5 \text{ que pide el problema tambien se cumple}$
    $\color{magenta} \text{Entonces la respuesta es los numeros de la forma 31k+1 con } 1 \leq k \leq 32$

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  34. $\color{yellow} \text{Son los que estan en la diagonal que va del cuadrito superior derecho}$
    $\color{yellow} \text{al inferior izquierdo}$
    $\color{green} \text{Esto lo voy a demostrar por induccion para una cuadricula de } 2^n \text{.}$
    $\color{green} \text{En la de } 2^{n+1} \text{ giramos los cuatro cuadros de } 2^n \text{.}$
    $\color{blue} \text{Ahora vemos que en los cuadritos de} 2^n \text{de arriba a la izquierda y abajo a}$
    $\color{blue} \text{la derecha, al terminar de realizar los pasos, por induccion, los que}$
    $\color{blue} \text{queden en la diagonal que pide el problema son los que originalmente}$
    $\color{blue} \text{estaban en la otra diagonal. Y al regresarnos al paso que ya habiamos}$
    $\color{blue} \text{hecho los de estas diagonales son la diagonal de la cuadricula de } 2^{n+1}$
    $\color{red} \text{La base de induccion es cuando} n=1$
    $\color{red} \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}$
    $\color{red} \text{Y vemos que la hipotesis en este caso si se cumple, por lo tanto para}$
    $\color{red} \text{el caso especifico de } n=5 \text{ que pide el problema tambien se cumple}$
    $\color{magenta} \text{Entonces la respuesta es los numeros de la forma 31k+1 con } 1 \leq k \leq 32$

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  35. $ \begin{pmatrix}O&X&X&O\\X&O&O&X\\X&O&O&X\\O&X&X&O\end{pmatrix}$

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  36. $\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&X&0\\0&X&X&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&X&0\\1&X&X&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$
    $\rightarrow \begin{pmatrix}1&1&0&1\\0&0&X&0\\1&X&X&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}0&1&0&1\\1&0&X&0\\0&X&X&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}$
    $\rightarrow \begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&X&0\\0&X&X&0\\1&0&0&0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&X&0\\0&X&X&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$

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  37. $\binom{3n+2}{2}-3[\binom{1}{1}+\binom{2}{1}+ \dots +\binom{n}{1}]$
    $= \frac{(3n+2)(3n+1)}{2} -3[1+2+ \dots +n]$
    $=\frac{(3n+2)(3n+1)}{2}-\frac{3n(n+1)}{2}$
    $=\frac{(9n^2+9n+2-3n^2-3n}{2}$
    $=\frac{(6n^2+6n+2}{2}=3n^2+3n+1$

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  38. $\documentclass[11pt]{article}
    \usepackage{amsmath}

    \pdfpagewidth 8.5in
    \pdfpageheight 11in
    \newcounter{prob_num}
    \setcounter{prob_num}{1}
    \newcommand{\prob}[5]{\bigskip \bigskip\arabic{prob_num}.\stepcounter{prob_num} #1
    \par\nopagebreak[4]\medskip A.\ #2\hfill B.\ #3\hfill
    C.\ #4\hfill D.\ #5\hfill E.\ NOTA}

    \begin{document}

    \prob{What is $2+2$?}{4}{5}{6}{7}

    \prob{What is $\sqrt{100}$?}{81}{10}{9}{1}

    \prob{Evaluate $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$.}
    {$\displaystyle\frac{1}{e}$} {$\displaystyle\frac{2}{\pi}$}
    {$\displaystyle\frac{\pi^3}{8}$} {$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$}

    \end{document}$

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  39. $S(\frac{a_k}{p})= S(\frac{10^{p-2}(10^{k(p-1)}-1) + \frac{10^{p-1}}{9}}{p}$

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  40. $S(\frac{a_k}{p}) = S(\frac{10^{p-2}(10^{k(p-1)}-1)}{p}+\frac{10^{p-1}-1}{9p})$
    $=S(\frac{10^{p-2}(10^{k(p-1)}-1)}{p})+S(\frac{10^{p-1}-1}{9p})-9c$

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  41. $\frac{10^{k(p-1)}-1}{p}=(\frac{10^{p-1}-1}{p})(\sum ^{k-1}_{i=0} (10^{p-1})^i)$

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  42. \[ h(n)=\begin{cases}0,\qquad\text{if }n\text{ is odd,}\\ }1,\qquad\text{if }n\text{ is even.}\end{cases} \]

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  43. \[ h(n)=\begin{cases}\qquad0,\qquad\text{if }n\text{ is odd,}\\ }1,\qquad\text{if }n\text{ is even.}\end{cases} \]

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  44. \$\$h(n) = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si } n \text{ es impar,}\\ 1 & \text{si } n \text{ es par} \end{array} \right. \$\$

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  45. \[h(n) = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si } n \text{ es impar,}\\ 1 & \text{si } n \text{ es par} \end{array} \right. \]

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  46. $\boxed{h(n) = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si } n \text{ es impar,}\\ 1 & \text{si } n \text{ es par.} \end{array} \right.}$

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  47. b) $\boxed{h(n) = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si } n \text{ es impar,}\\ 1 & \text{si } n \text{ es par.} \end{array} \right.}$

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  48. $h(m)$ es de cuantas maneras se puede dar este cambio con un acomodo de $m\times 2$ asientos.
    Con casos pequeños vemos que $h(1)=1$, $h(2)=4$,
    $h(3)=9$.
    Vemos como se pueden mover las dos personas en la m-ésima fila.
    Sea $a_i$ la persona en la primera columna, en la fila $i$, y sea $b_i$ la persona en la segunda columna, en la fila $i$.
    Si $a_m$ y $b_m$ se sientan uno en el lugar del otro, entonces los demas se pueden reacomodar de $h_{m-1}$.
    Ahora, si se cambian $a_{m-1}$ con $a_m$, y $b_{m-1}$ con $b_m$, entonces los demas se pueden acomodar de $h(m-2)$ maneras.

    En un tercer caso, si $a_{m-1}$ se sienta en el lugar de $a_m$, $a_m$ en el lugar de $b_m$, y $b_m$ en el lugar de $b_{m-1}$, a partir de ahi, si los de la segunda columna se siguen pasando al lugar de enfrente, hasta que $b_k$ se pasa a $a_k$, entonces todas las $a_j$ con $j=\{k,(k+1),\dots ,m-2\}$ solo van a tener una opcion, que es sentarse en el lugar de $a_{j+1}, y los demas tienen $h(k-1)$ maneras de acomodarse.
    Asi en este caso hay $\sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}$
    Analogamente si en vez de moverse en sentido 'contrario a las manecillas del reloj', se mueven en sentido de las manecillas del reloj. Entonces tenemos que:
    $h(m)=h(m-1)+h(m-2)+2\sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}$

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  49. $h(m)$ es de cuantas maneras se puede dar este cambio con un acomodo de $m\times 2$ asientos.
    Con casos pequeños vemos que $h(1)=1$, $h(2)=4$,
    $h(3)=9$.
    Vemos como se pueden mover las dos personas en la m-ésima fila.
    Sea $a_i$ la persona en la primera columna, en la fila $i$, y sea $b_i$ la persona en la segunda columna, en la fila $i$.
    Si $a_m$ y $b_m$ se sientan uno en el lugar del otro, entonces los demas se pueden reacomodar de $h_{m-1}$.
    Ahora, si se cambian $a_{m-1}$ con $a_m$, y $b_{m-1}$ con $b_m$, entonces los demas se pueden acomodar de $h(m-2)$ maneras.

    En un tercer caso, si $a_{m-1}$ se sienta en el lugar de $a_m$, $a_m$ en el lugar de $b_m$, y $b_m$ en el lugar de $b_{m-1}$, a partir de ahi, si los de la segunda columna se siguen pasando al lugar de enfrente, hasta que $b_k$ se pasa a $a_k$, entonces todas las $a_j$ con $j=\{k,(k+1),\dots ,m-2\}$ solo van a tener una opcion, que es sentarse en el lugar de $a_{j+1}$, y los demas tienen $h(k-1)$ maneras de acomodarse.
    Asi en este caso hay $\sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}$
    Analogamente si en vez de moverse en sentido 'contrario a las manecillas del reloj', se mueven en sentido de las manecillas del reloj. Entonces tenemos que:
    $h(m)=h(m-1)+h(m-2)+2\sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}$

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  50. Ahora tomamos la sucesión de Fibonacci, con $f_0=f_1=1$, $f_2=2$, etc.
    Veamos que $h(m)=(f_m)^2$
    Los casos base ya estan en el comentario anterior.

    $(f_m)^2=(f_{m-1}+f{m-2})^2=(f_{m-1})^2+(f{m-2})^2 +2f_{m-1}f_{m-2}$
    $=h(m-1)+h(m-2)+2f_{m-1}f_{m-2}$

    Entonces para que se cumpla que $h(m)=(f_m)^2$, necesitamos que
    $f_{m-1}f_{m-2}=\sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}= \sum_{i=1}^{m-2}{(f_i)^2}$

    $f_{m-1}f_{m-2}= (f_{m-2}+f_{m-3})f_{m-2}=(f_{m-2})^2+f_{m-2}f_{m-3}$
    Y con otra induccion es facil ver que la igualdad que buscabamos es cierta.

    $\boxed{h(m)=(f_m)^2$

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  51. Ahora tomamos la sucesión de Fibonacci, con $f_0=f_1=1$, $f_2=2$, etc.
    Veamos que $h(m)=(f_m)^2$
    Los casos base ya estan en el comentario anterior.

    $(f_m)^2=(f_{m-1}+f{m-2})^2=(f_{m-1})^2+(f{m-2})^2 +2f_{m-1}f_{m-2}$
    $=h(m-1)+h(m-2)+2f_{m-1}f_{m-2}$

    Entonces para que se cumpla que $h(m)=(f_m)^2$, necesitamos que
    $f_{m-1}f_{m-2}=\sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}= \sum_{i=1}^{m-2}{(f_i)^2}$

    $f_{m-1}f_{m-2}= (f_{m-2}+f_{m-3})f_{m-2}=(f_{m-2})^2+f_{m-2}f_{m-3}$
    Y con otra induccion es facil ver que la igualdad que buscabamos es cierta.

    $\boxed{h(m)=(f_m)^2}$

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  52. Ahora tomamos la sucesión de Fibonacci, con $f_0=f_1=1$, $f_2=2$, etc.
    Veamos que $h(m)=(f_m)^2$
    Los casos base ya estan en el comentario anterior.

    $(f_m)^2=(f_{m-1}+f{m-2})^2=(f_{m-1})^2+(f{m-2})^2$
    $+2f_{m-1}f_{m-2}=h(m-1)+h(m-2)+2f_{m-1}f_{m-2}$

    Entonces para que se cumpla que $h(m)=(f_m)^2$, necesitamos que
    $f_{m-1}f_{m-2}=\sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}= \sum_{i=1}^{m-2}{(f_i)^2}$

    $f_{m-1}f_{m-2}= (f_{m-2}+f_{m-3})f_{m-2}=(f_{m-2})^2+f_{m-2}f_{m-3}$
    Y con otra induccion es facil ver que la igualdad que buscabamos es cierta.

    $\boxed{h(m)=(f_m)^2}$

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  53. $\line AB$
    $\triangle ABC$
    $\angle ABC$
    $\lineAB$
    $\triangleABC$
    $\angleABC$
    $\mathrmAB$

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  54. Podemos ver que el $\triangle CAB$ $~$ $\triangle CEA$ , por Angulo-Angulo.
    Tenemos: $\frac{CA}{CE}$ $=$ $\frac{AB}{EA}$ $=$ $\frac{BC}{AC}$ $\Rightarrow$ $\frac{CA}{1}$ $=$ $\frac{BC}{AC}$ $\Rightarrow$ $CA^2=BC$

    $\Rightarrow$ $\boxed{CA=\sqrt{BC}}$

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  55. $\alpha$
    $\beta$
    $\tetha$
    $\gamma$
    $\phi$
    $\delta$

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  56. Respuestas
    1. Acaso funcionan los colores?
      ${\color{red}rojo}, {\color{white}blanco}$

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