-Encuentra un número de dos dígitos tal que al sumarle 1 y voltear los dígitos del resultado, obtienes un divisor del número.
Para avanzados:
-Encontrar todas las parejas de cuadrados perfectos (r,n) tales que n=4r+2010².
Para muy avanzados:
-Si f: N--->N, tal que f(f(m)+f(n))=m+n, para todo m, n enteros positivos.
Encontrar todos los posibles valores de f(1988).
Saludos!!
Daniel Martínez
oye daniel, en el problema 2,hay 9 parejas?
ResponderBorrarSoy Irving
haha sorry por borrar el comentario.. es que en uno d mis desvarios te mande la respuesta... aqui te pego ya corregido lo que habia escrito:
ResponderBorrarhola irving.. amm.. no... al menos yo no tengo 9.
Si tienes la solución, es mejor que la subas aquí como comentario... asi acostumbramos mandar las soluciones a los problemas del día (agrega tu nombre en cualquier lado para que sepamos que es tuya) chance y me equivoque al resolverlo...
Saludos
Denotemos a n como m² y a r como k².
ResponderBorrarDe n= 4r + 2010², podemos obtener
n – 4r= 2010²
m²-4k²=2010²
Por diferencia de cuadrados tenemos
(m-2k)(m+2k)=2010²
Ahora 2010²=2²x3²x5²x67², de aquí podemos substituir a (m-2k) y (m+2k) con productos de la descomposición de 2010². Por ejemplo: (m-2k)=2²=4 y (m+2k)=3²x5²x67²=8,147, 535; (m-2k)(m+2k)=4x8,147,535=4,040,100=2010².
Podemos usar este caso en particular para sacar valores de k y m. Con m-2k=4 y m+2k=8,147,535, tenemos un sistema de ecuaciones:
m-2k=4
m+2k=8,147,535
2m=8,147,539,
pero al dividir 8,147,535 entre 2 no obtenemos un entero positivo.
Probemos con otro ejemplo:
Como en el ejemplo pasado (m-2k) y (m+2k) eran números par e impar, respectivamente, ahora veamos k pasa con dos números pares.
Ahora vamos a tener (m-2k)=2 y (m+2k)=2x3²x5²x67²=2,020,050:
m-2k=2
m+2k=2,020,050
2m=2,020,052
m=1,010,026
(1,010,026)-2k=2
2k=1,010,024
K=505,012
Aquí se tiene una respuesta de (n,r)= (1010026²,505,012²)
Ya que al tener números (m-2k) y (m+2k) impar y par, respectivamente, no se obtienen valores de k y m enteros, y al tener números (m-2k) y (m+2k) par y par, respectivamente, si se obtienen valores de k y m enteros, y como nada mas hay dos 2’s, entonces (m-2k) debe ser 2 por algo y (m+2k) también debe ser 2 por algo, lo cual disminuye nuestra búsqueda de valores de m y k.
Los números (m-2k) pueden ser 2, 2x3=6, 2x3²=18, 2x3²x5=90, 2x3²x5²=450, 2x5=10, 2x5²=50, 2x67=134, 2x3²x67=1206. Y de tal manera que el producto sea de 2010², respectivamente tenemos a (m+2k) con 2x3²x5²x67²=2020050, 2x3x5²x67²=673350, 2x5²x67²=224450, 2x5x67²=44890, 2x67²=8978, 2x3²x5x67²=404010, 2x3²x67²=80802, 2x3²x5²x67=30150, 2x5²x67=3350.
Nota: los valores que le asignamos a (m-2k) también se pueden aplicar a (m+2k) pero nos saldrían los mismos resultados para k pero negativos, de cualquier forma no afecta al resultado final porque estaríamos sacando el cuadrado de k para así obtener r, que al final sería positivo.
Haciendo lo mismo de los sistemas de ecuaciones tenemos las parejas (m,n):
(1010026², 505012²), (336678², 168336²), (112234²,56108²), (22490²,11200²), (4714²,2132²), (202010²,10100²),(40426²,20188²), (15142²,7504²), y (2278²,536²)
Ahi disculpen mi organizacion y presentacion, esk lo copie todo en word y luego lo puse aki.
ResponderBorrarexcelente... muy buena solucion...
ResponderBorraryo estoy viendo qué le falta a la mia... y en cuanto lo encuentre.. la publico.
solo un dato.. las parejas son (n,r).
Sigan comentando!
acabo de notar... pusiste como solucion la pareja:
ResponderBorrar(202010²,10100²) ya probe con esa y no me dio en la evaluacion... checa si no te ekivocaste con algun numerito...
saludos
bien, pues ya no le encontre qué le falta a mi pseudo solucion.... igual se las muestro para que ustedes me digan.
ResponderBorrarLlamemos n=s² y r=t².
entonces buscamos s,t tales que
s²=4t²+2010²
s²=4(t²+1005²)
luego, tenemos que t²+1005² deberá ser un cuadrado perfecto para que n tambien sea cuadrado, así que tenemos la ecuación diofantina cuadrática:
t²+1005²=(s/2)²
siendo m,k enteros positivos, sabemos que las soluciones estan dadas por:
t=2mk
1005=m²-k²
s/2=m²+k²
de la segunda igualdad,
1005=(m+k)(m-k), aparte conocemos los divisores de 1005:
1005 = 1005*1 = 335*3 = 201*5 = 67*15
sabemos que m+k > m-k, por lo que tenemos 4 sistemas de ecuaciones,
m+k=1005;m-k=1
...
m+k=67;m-k=15
Resolviendo estos sistemas, nos darán
t=2*503*502
t=2*169*166
t=2*103*98
t=2*41*26
para obtener las siguientes cuatro parejas (n,r):
(1010026²,4*503²*502²)
(112234²,4*169²*166²)
(40426²,4*103²*98²)
(4714²,4*41²*26²)
espero me ayuden a encontrar cómo llegar a lo que me falta...
ns vemos
"siendo m,k enteros positivos, sabemos que las soluciones estan dadas por:
ResponderBorrart=2mk
1005=m²-k²
s/2=m²+k²"
Aqui esta el problema daniel, esas soluciones son para las ternas pitagoricas primitivas. Tendrias que usar:
t=2amk
1005=a(m²-k²)
s/2=a(m²+k²)
Ahi ya encuentras todas las ternas pitagoricas.
Ahi disculpa daniel, esa solucion que puse (n,r)=(202010²,10100²) la copie mal, la verdadera solucion es (n,r)=(202010²,101000²).
ResponderBorrar