sábado, 10 de julio de 2010

Problema del día.

Demostrar que el máximo común divisor de a²+b²-nab y de a+b también divide a n+2.

a y b son enteros positivos.
(a,b)=1
n entera.

Saludos.

5 comentarios:

  1. ***SPOILER***
    Sea mcd(a²+b²-nab, a+b) = d
    entonces d|a+b y d|a²+b²-nab.
    Entonces d|(a+b)^2
    d|a^2+b^2+2ab
    Como d divide a la diferencia tenemos que:
    d|(a^2+b^2+2ab)-(a²+b²-nab.)
    d|ab(n+2)

    Entonces si demostramos que mcd(ab,d)=1, acabamos.

    Sea mcd(ab,d)=e

    e|ab
    y como e|d, entonces e|a+b
    e|a^2+b^2+2ab
    e|a^2+b^2
    por otro lado
    a=-b mod e
    entonces
    a^2=b^2 mod e
    e|a^2-b^2

    e|2a^2
    e|2b^2
    supongamos que e es de la forma e=2^k. Ahora como e|a+b, entonces a+b es par, si a y b son pares entonces dejan de ser primos realtivos, si a y b son impares entonces ab es impar, pero como e|ab y llegamos a un absurdo.

    Entonces mcd(e,2)=1 y e|a^2

    pero como mcd(a,b)=1 entonces mcd(a^2,b^2)=1 entonces e=1 y mcd(ab,d)=1, que era lo que queriamos demostrar.
    *** END OF SPOILER ****

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  2. Creo que vale la pena explicar que es (a,b) = 1. Nosotros sabemos, pero el blog tambien es para principiantes.

    (a,b) = 1, significa que el máximo común divisor de a y b es 1. Es decir, a y b no tienen ningún factor en común.

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  3. Primero una autocorrecion en "supongamos que e es de la forma e=2^k" quize decir supongamos que "e es de la forma e=2^k*b con k>=1 y b impar".

    Otra cosa es que ya les habia enseñado a mis alumnos (probablemente los de juarez tambien sepan) lo que quiere decir (a,b)=1.

    Y voy a destacar un teorema muy usado en mi demostración para que vallan aprendiendo mas teoremas los novicios.
    Teorema!! si a|bc y (a,b)=1, entonces a|c.

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  4. Aunque muchos sepan que es (a,b) = 1, no hay razón para no escribir "a y b son primos relativos" o "a y b no tienen factores en comun" o "el maximo comun divisor de a y b es 1", cosas que son faciles de googlear en caso de que no sepan que es "primos relativos" o "maximo comun divisor". Sin embargo (a,b) = 1 es mas dificil de saber que es sin saberlo antes.

    Buena nota sobre a|bc implica a|c cuando a y b son primos relaticos.

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  5. Mi solución es un poco distinta a la tuya Isaí, aquí va:

    Usó la siguiente observación (que tú también usas):
    (m,n) = (m-n, n).

    Entonces tenemos:
    d = (a^2+b^2-nab , a+b) = (a^2+b^2-nab - (a^2+b^2+2ab), a+b) = (-(n+2)ab,a+b) = ((n+2)ab,a+b).
    Ahora (a+b,a) = (b,a) = 1 y (a+b,b) = (a,b) = 1. Por lo tanto (a+b,ab) = 1.

    Entonces usando el teorema que mencionas al final tenemos:
    d = ((n+2)ab, a+b) = (n+2, a+b). Lo cual demuestra que d|(n+2)

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