Problema del día para novicios:
-A un tablero cuadriculado de 9 x 9 se le han quitado tres de sus esquinas (de 1x1). ¿Es posible cubrirlo con fichas de 3x1?
Para avanzados:
-La sucesión de Fibonacci $f_1 , f_2 , ... $ se define como sigue: $f_1 =1$, $f_2 =1$ y, para $n \geq 3$, $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$. Probar la siguiente fórmula:
\[f_n = \frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}\]
Pfff la solucion del avanzado esta bien larga asi que me voy a saltear el algebra jeje xD:
ResponderBorrarSea $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$, consideremos el polinomio caracteristico asociado a esta recursión
\[\lambda^2 - \lambda -1 =0\]
Cuyas soluciones son:
\[\lambda_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \lambda_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\]
Entonces la sucesion de Fibonacci esta dada por:
\[f_n = c\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n +d\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \]
Cuando $n=1$
\[f_1 = c\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right) +d\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right) = 1 \]
\[c(1+\sqrt{5})+d(1-\sqrt{5}) = 2\]
Cuando $n=2$
\[f_2 = c\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^2 +d\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^2 = 1\]
Entonces tenemos dos ecuaciones y dos incognitas, resolviendo el sistema (el paso que me voy a saltear esta muy feo, se queda de tarea para el lector) tenemos que:
\[c=\frac{1}{\sqrt{5}}, d = -\frac{1}{\sqrt{5}}\]
Otra solución del avanzado es por inducción. La algebra esta medio fea, pero no esta dificil.
ResponderBorrarA mi me salio con induccion pero es mucha lata pasarlo por aqui jeje
ResponderBorrara mi me salio por induccion fuerte.. pero igual.. es mucha talacha
ResponderBorrarinduccion fuerte = induccion.
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ResponderBorrar$(3x)(3y)=\frac{(3xy)(sen\gamma)(3)(4)}{4}$
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