Como ayer no pusimos problema, ahora pondremos 2 de cada tipo
Novicios:
Demostrar que los puntos medios de los lados de un cuadrilatero cualquiera son los vertices de un paralelogramo.
Determinar todos los primos p para los cuales p2+77 tiene exactamente 5 divisores.
Avanzado:
Por el baricentro G de un triangulo ABC se traza una recta que corta al lado AB en P y al lado AC en Q. Demuestra que
PBPA⋅QCQA≤14
Probar que para todo numero natural n, el número
(n3−n)(58n+4+34n+2)
es multiplo de 3804
No se que tan avanzados estan los problemas avanzados porque nomas los agarre al azar. Si estan muy faciles me dicen.
ResponderBorrarsi estas seguro que es 3804??? como que el 317 esta muy feo.. no?
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ResponderBorrarsimon, es 3804, asi dice el problema jeje
ResponderBorrarPues parece cierto el de 3804. Cheque 1,2,3,4,5,6,10 en la calculadora y cumplen.
ResponderBorrar3804=2⋅2⋅3⋅317
ResponderBorrarPor el teorema de fermat, tenemos que n3≡n(mod3), aparte, sabemos que n3−n es par ya que ambos terminos tienen la misma paridad. Del segundo factor (58n+4+34n+2) tenemos que tambien es par, por el mismo principio. Entonces ya tenemos que el numero (n3−n)(58n+4+34n+2) es multiplo de 2⋅2⋅3⋅317. Solo falta ver si es tambien multiplo de 317.
El segundo factor es igual a 54(2n+1)+32(2n+1)
Si tomamos n=0, tendremos:
54+32≡0(mod634)
de ahi que 54≡−32(mod634)
si elevamos ambos miembros de la congruencia a la potencia (2n+1) obtendremos:
54(2n+1)≡−32(2n+1)(mod634)
de ahi que 54(2n+1)+32(2n+1)≡0(mod634) por lo que 634|54(2n+1)+32(2n+1) como 634≡0(mod317), concluimos que 317|54(2n+1)+32(2n+1), que era lo que nos faltaba demostrar. ■
saludos!
Ya lo demostre, alli va la demostracion, cuidado con los spoilers:
ResponderBorrar54+32=634=2×317. Esto es lo que quedremos usar.
54≡−9(mod3)17, por lo tanto 58≡81≡34(mod3)17. Por lo tanto 58n≡81n≡34n(mod3)17 y tenemos 58n+4+34n+2≡81n×54+81n×32≡81n(54+32)≡0(mod3)17
Corrección:
ResponderBorrardije que (n3−n)(58n+4+34n+2) tambien era multiplo de 2⋅2⋅3⋅317 lo cual aun no lo podemos determinar... lo que paso fue que copie el codigo de mas arriba, pero se me olvido quitar ese factor.
saludos.
Hmmm, lastima que no se puede editar, pero lod mod3, deben ser mod 317.
ResponderBorrarohh estuvo muy padre el truco ese del 81... ☺
ResponderBorrarAlguien tiene un problema bonito y facil de combi para el problema del dia? jeje
ResponderBorrarA mi me salio bn raro y largo, me gusto mucho mas la solucion de daniel k la mia jeje
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ResponderBorrarGeometria Avanzado:
ResponderBorrarSea D el punto medio de BC, la mediana AD, G el gravicentro, tenemos que AGGD=2, DGGA=12.
Caso 1, considere la linea que pasa por PQ, paralela al lado BC, aplicando Tales en el triangulo ABD y segmento PG, tenemos que BPPA=DGGA, PBPA=12 (1), similarmente aplicando Tales en el triangulo ABC segmento GQ, tenemos que QCQA=12 (2). Multiplicando (1) y (2) obtenemos PBPA⋅QCQA=14.
Caso 2, considere la linea que pasa por PQ no paralela a BC, sin perdida de generalidad consideremos que la linea que pasa por PQ que se extiende por P corta al lado BC en M.
Apliquemos Melenao en el triangulo ABD, a la linea que pasa por los puntos M, P, G, entonces tenemos que APPB⋅BMMD⋅DGGA=1, APPB⋅BMMD⋅12=1 acomodando tenemos PBPA=BM2DM (3).
Similarmente, apliquemos Melenao en el triangulo ADC, a la linea que pasa por los puntos M, G, Q, entonces tenemos que AGGD⋅DMMC⋅CQQA=1, 2⋅DMMC⋅CQQA=1 acomodando tenemos QCQA=CM2DM (4).
Multiplicando (3) y (4) resulta en:
PBPA⋅QCQA=BM⋅CM4DM2.
Tenemos que probar que BM⋅CMDM2<1, sea BD=DC=x, BM=y entonces BC=2x, CM=BC+BM=2x+y, DM=BD+BM=x+y.
BM⋅CMDM2=y(2x+y)(x+y)2<1, asi que 2xy+y2<x2+2xy+y2, claramente 0<x2, como los pasos son reversibles tenemos que
PBPA⋅QCQA<14.
Considerando caso 1 y 2:
PBPA⋅QCQA leq14.
No lo he intentado, pero, ¿es factible emplear inducción para el segundo de los problemas avanzados?
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