Como ayer no pusimos problema, ahora pondremos 2 de cada tipo
Novicios:
Demostrar que los puntos medios de los lados de un cuadrilatero cualquiera son los vertices de un paralelogramo.
Determinar todos los primos p para los cuales $p^2+77$ tiene exactamente $5$ divisores.
Avanzado:
Por el baricentro $G$ de un triangulo $ABC$ se traza una recta que corta al lado $AB$ en $P$ y al lado $AC$ en $Q$. Demuestra que
\[\frac{PB}{PA}\cdot \frac{QC}{QA} \leq \frac{1}{4} \]
Probar que para todo numero natural $n$, el número
\[(n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2})\]
es multiplo de 3804
No se que tan avanzados estan los problemas avanzados porque nomas los agarre al azar. Si estan muy faciles me dicen.
ResponderBorrarsi estas seguro que es 3804??? como que el 317 esta muy feo.. no?
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ResponderBorrarsimon, es 3804, asi dice el problema jeje
ResponderBorrarPues parece cierto el de 3804. Cheque 1,2,3,4,5,6,10 en la calculadora y cumplen.
ResponderBorrar$3804=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 317$
ResponderBorrarPor el teorema de fermat, tenemos que $n^3 \equiv n \pmod{3}$, aparte, sabemos que $n^3 -n$ es par ya que ambos terminos tienen la misma paridad. Del segundo factor $(5^{8n+4} + 3^{4n+2})$ tenemos que tambien es par, por el mismo principio. Entonces ya tenemos que el numero $(n^3 -n)(5^{8n+4} + 3^{4n+2})$ es multiplo de $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 317$. Solo falta ver si es tambien multiplo de $317$.
El segundo factor es igual a $5^{4(2n+1)} + 3^{2(2n+1)}$
Si tomamos $n=0$, tendremos:
$5^4 + 3^2 \equiv 0 \pmod{634}$
de ahi que $5^4 \equiv -3^2 \pmod {634}$
si elevamos ambos miembros de la congruencia a la potencia $(2n+1)$ obtendremos:
$5^{4(2n+1)} \equiv -3^{2(2n+1)} \pmod{634}$
de ahi que $5^{4(2n+1)} + 3^{2(2n+1)} \equiv 0 \pmod{634}$ por lo que $634|5^{4(2n+1)} + 3^{2(2n+1)}$ como $634 \equiv 0 \pmod{317}$, concluimos que $317|5^{4(2n+1)} + 3^{2(2n+1)}$, que era lo que nos faltaba demostrar. ■
saludos!
Ya lo demostre, alli va la demostracion, cuidado con los spoilers:
ResponderBorrar$5^4 + 3^2 = 634 = 2\times 317$. Esto es lo que quedremos usar.
$5^4 \equiv -9 \pmod 317$, por lo tanto $5^8 \equiv 81 \equiv 3^4 \pmod 317$. Por lo tanto $5^{8n} \equiv 81^n \equiv 3^{4n} \pmod 317$ y tenemos \[5^{8n+4} + 3^{4n+2} \equiv 81^n\times 5^4 + 81^n\times 3^2 \equiv 81^n(5^4 + 3^2) \equiv 0 \pmod 317\]
Corrección:
ResponderBorrardije que $(n^3 -n)(5^{8n+4} + 3^{4n+2})$ tambien era multiplo de $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 317$ lo cual aun no lo podemos determinar... lo que paso fue que copie el codigo de mas arriba, pero se me olvido quitar ese factor.
saludos.
Hmmm, lastima que no se puede editar, pero lod mod3, deben ser mod 317.
ResponderBorrarohh estuvo muy padre el truco ese del $81$... ☺
ResponderBorrarAlguien tiene un problema bonito y facil de combi para el problema del dia? jeje
ResponderBorrarA mi me salio bn raro y largo, me gusto mucho mas la solucion de daniel k la mia jeje
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ResponderBorrarGeometria Avanzado:
ResponderBorrarSea D el punto medio de BC, la mediana AD, G el gravicentro, tenemos que $$\frac{AG}{GD}=2$$, $$\frac{DG}{GA}=\frac{1}{2}$$.
Caso 1, considere la linea que pasa por PQ, paralela al lado BC, aplicando Tales en el triangulo ABD y segmento PG, tenemos que $$\frac{BP}{PA}=\frac{DG}{GA}$$, $$\frac{PB}{PA}=\frac{1}{2}$$ (1), similarmente aplicando Tales en el triangulo ABC segmento GQ, tenemos que $$\frac{QC}{QA}=\frac{1}{2}$$ (2). Multiplicando (1) y (2) obtenemos $$\frac{PB}{PA}\cdot\frac{QC}{QA}=\frac{1}{4}$$.
Caso 2, considere la linea que pasa por PQ no paralela a BC, sin perdida de generalidad consideremos que la linea que pasa por PQ que se extiende por P corta al lado BC en M.
Apliquemos Melenao en el triangulo ABD, a la linea que pasa por los puntos M, P, G, entonces tenemos que $$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BM}{MD}\cdot\frac{DG}{GA}=1$$, $$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BM}{MD}\cdot\frac{1}{2}=1$$ acomodando tenemos $$\frac{PB}{PA}=\frac{BM}{2DM}$$ (3).
Similarmente, apliquemos Melenao en el triangulo ADC, a la linea que pasa por los puntos M, G, Q, entonces tenemos que $$\frac{AG}{GD}\cdot\frac{DM}{MC}\cdot\frac{CQ}{QA}=1$$, $$2\cdot\frac{DM}{MC}\cdot\frac{CQ}{QA}=1$$ acomodando tenemos $$\frac{QC}{QA}=\frac{CM}{2DM}$$ (4).
Multiplicando (3) y (4) resulta en:
$$\frac{PB}{PA}\cdot\frac{QC}{QA}=\frac{BM \cdot CM}{4DM^2}$$.
Tenemos que probar que $$\frac{BM \cdot CM}{DM^2}<1$$, sea BD=DC=x, BM=y entonces BC=2x, CM=BC+BM=2x+y, DM=BD+BM=x+y.
$$\frac{BM \cdot CM}{DM^2}=\frac{y(2x+y)}{(x+y)^2}<1$$, asi que $$2xy+y^2<x^2+2xy+y^2$$, claramente $$0<x^2$$, como los pasos son reversibles tenemos que
$$\frac{PB}{PA}\cdot\frac{QC}{QA}<\frac{1}{4}$$.
Considerando caso 1 y 2:
$$\frac{PB}{PA} \cdot \frac{QC}{QA} \
leq \frac{1}{4}$$.
No lo he intentado, pero, ¿es factible emplear inducción para el segundo de los problemas avanzados?
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