Demuestra que si en un triangulo de área $S$ el producto de las longitudes de dos de sus medianas es igual a $\frac{3}{2}S$, entonces dichas medianas son perpendiculares.
Si quieren hacer figuras geometricas en la computadora, les recomiendo utilizar GeoGebra.
como se suben imagenes aqui???????
ResponderBorrarNo se puede en los comentarios, puedes subirla a googledocs o a photobucket o algo asi.
ResponderBorrargracias !!!
ResponderBorrarlo que he avanzado...
ResponderBorrartenemos AA' x BB' = 3/2$S$
lo que hice fue mucha algebra, asi que me saltare un par de pasos :P
nombro angulo AA'C=$\alpha$ y BB'C=$\beta$
y al ACB=$\theta$
uso la formula de area con senos para sacar el area de (ABC) (AA'C) y (BB'C)
el segundo y 3ro tienen la mitad del area del ABC, asi que si los multiplico dan ($S$/2)^2
desarrollo hasta tener
AA' x BB' x (sen$\alpha$ x sen$\beta$)/8 = $S$ $\theta$
como AA' x BB' = 3/2$S$
3/2 = 8sen$\theta$ / sen$\alpha$sen$\beta$
y hasta ahi voy :)
falta llegar de eso a que
$\alpha$ + $\beta$ + $\theta$ = 270
me equivoque en una cosa, tengo:
ResponderBorrarAA' x BB' x (sen$\alpha$ x sen$\beta$)/8 = $S$ $\theta$
y deberia ser
AA' x BB' x (sen$\alpha$ x sen$\beta$)/8 = $S$ sen$\theta$
tenemos AA' x BB' = 3/2$S$
ResponderBorraraclaro que esas dos son las medianas que cumplen, jeje
pero se supone qe si las medianas son perpendiculares entonces se cumple eso!
ResponderBorrary el unico triangulo qe cumple qe sus 3 medianas son perpendiculares es el equilatero! entonces no importaria cuales de las 3 medianas escogieras!
yo llame al triangulo ABC y a los puntos D y E son en donde son donde chocan las medianas en AB y AC respectivamente y trace una linea de D a E.
ResponderBorrardonde intersecan las medianas forman un angulo $\alpha$
Sabemos que $S$ = (ADB) + (BDEC)
triangulo ADB es congruente a triangulo ABC por RAR
$\frac{1}{2}$AB = AD
porlotanto (ADB) = $\frac{1}{4}S$
(BDEC) = $S - \frac{1}{4}S$
(BDEC) = $\frac{3}{4}S$
2(BDEC) = $\frac{3}{2}S$
aparte la figura BDEC esta formada por 4 triangulos
se sabe que el area de un triangulo = a un medio del producto de sus lados por el seno del angulo que forma
factorizando (BDEC) = $/frac{1}{2}\times$DC$\times$EB$\times sen\alpha$
2(BDEC) = DC$\times$EB$\times sen\alpha$
si $\alpha$ = 90 grados
sen $\alpha$ = 1
y 2(BDEC) = DC$\times$EB
entonces $S \frac{3}{2}$ = DC$\times$EB
en la parte que dice /frac quice decir $\frac{1}{2}$
ResponderBorrarya termine mi solucion, pero mañana la subo en photobucket
ResponderBorrarsolo una aclaracion intermediaria..en el triangulo equilatero.. sus medianas no son perpendiculares...
ResponderBorrarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorraren el equilatero forman un angulo de 120 grados...
ResponderBorrary a mi solucion si en vez de nombro angulo AA'C=$\alpha$ y BB'C=$\beta$
pongo angulo A'AC=$\alpha$ y B'BC=$\beta$
y hago lo mismo tengo que
$\frac{3}{2}$ = $\frac{2sen\theta}{sen\alpha\timessen\beta}$
asi que de eso tengo que llegar a
$\alpha$ + $\beta$ + $\theta$ = 90
despues de intentar muchas cosas!
ResponderBorrarllegue a esto
(ABC)= S
(AB'C')= 1/4 S
(B'C'BC)= 3/4 S
2(B'C'BC)= 6/4 = 3/2
despues de ahi parti que dos medianas me tenian que dar como producto 3/2 S entonces
me qedaria que!
2(B'C'BC)= 6/4 = 3/2 = (BB')(CC')
y esto nos queda que:
2(B'C'BC)= (BB')(CC')
todo esto se podra apreciar mejor aqui en mi imagen!
http://s792.photobucket.com/albums/yy204/sorpk/images/?action=view¤t=Untitled.png
El area del triangulo ABC=S,
ResponderBorrarLlamare las medianas AD y BE
(AD)(BE)=3/2S
El triangulo que se forma con las medianas es congruente con el original, por lo tanto:
(AB)(AC)=S
Despues de varias opraciones llegue a la conclusion:
de que el area = 1/2(AD(BE)(Sen90)
ResponderBorrarTambien 2(AEDB)=1/2
entonces 3/2S=(AD(BE)
Sean $M$ y $L$ los puntos medios de $CB$ y $AB$ respectivamente.
ResponderBorrarSea $G$ el punto de intersección entre $CL$ y $AM$
$AG=2x$
$GM=x$
$CG=2y$
$GL=y$
$(AML)=(LMB)$ (tienen bases iguales y misma altura)
analogamente $(AMB)=(ACM)$
$(ABC)=(ACM)+(MAB)$
$(MBA)=(ALM)+(LBM)$
por lo tanto $4(ALM)=(ABC)$
$(ALM)=(ALG)+(GLM)$
sea $\angleAGL=\gamma$
$(ALG)=\frac{(2x)(y)(sen\gamma)}{2}$
$(LGM)=\frac{xy)(sen\gamma)}{2}$
($sen\gamma=sen(180-\gamma)$)
entonces $(ALM)=\frac{(xy)(sen\gamma)(2+1)}{2}$
$(ABC)=\frac{(xy)(sen\gamma)(3)(4)}{2}$
luego por dato de problema sabemos
$(AM)(CL)=\frac{3}{2}(ABC)$
$(3x)(3y)=\frac{(3xy)(sen\gamma)(3)(4)}{4}$
$1=sen\gamma)$
$\gamma=90$
Luego para el regreso, supongamos que las medianas son perpendiculares, queremos demostrar que se cumple la igualdad anterior
usamos pitagoras para determinar los valores de $AL$ $CM$ y $AC$, nos queda
$AL=\sqrt{4x^2+y^2}$
$CM=\sqrt{x^2+4y^2}$
$AC=\sqrt{4x^2+4y^2}$
usando Herón: $(ABC)\frac{\sqrt{(2)(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}}{4}$
y haciendo unas cuentas nos queda $(ABC)=6xy$ entonces nos queda $9xy=\frac{(3)(6xy)}{2}$
http://s1205.photobucket.com/albums/bb437/samantha_mm/samntha%20medina/?action=view¤t=img003.jpg
ResponderBorraresa es la imagen de lo que hice, lo unico que no pude en el dibujo es que los 4 triangulos que se forman dentro del triangulo ABC al unir los puntos medios son congruentes
http://s1205.photobucket.com/albums/bb437/samantha_mm/samntha%20medina/?action=view¤t=img005.jpg
ResponderBorraresa es la continuacion :)
Listo aquí esta mi solución, si tienen comentarios, dudas, o quejas, adelante :P
ResponderBorrarhttp://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20del%20Blog%201/?action=view¤t=scan0001.jpg
ya lo termine
ResponderBorrarnomas tengo que llegar a mi casa para escanearlo y subirlo =D
-siendo E D los puntos medios de los lados AC y CB
ResponderBorrar- y G el punto de interseccion de las medianas
-el producto de las medianas es igual a 2 veces el cuadrilatero AEDB
-entonces 3/4 s es igual a S
-por lo tanto si demuestro que GED es 1/4 S resuelvo el problema
ED es una paralela a AB
CED es congruente con CAB
la razon de los lados en la congruencia es 2:1
entonces:
trazamos la altura imaginaria de GAB que tambien funciona para AED
S=(2*GF*2*ED)/2
S=2*GF*ED
entonces dividimos:
[(ED*GF)/2] area de GED entre [2*ED*GF]=S
esto es igual a 1/4
tratare de subir el dibujo el problema es que no tengo escaner, lo hare en cuanto pueda
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarDiana Hernandez
ResponderBorrarteniendo un triangulo rectangulo ABC con medidas de angulos de 60, 30 y 90 grados;el seno de la mediana1 que es la del angulo de 60 grados seria
sen30=(M1/2)/(b/1)
sen30=M1/2b
0.5=M1/2b
M1= b
y el seno de la mediana del angulo de 90 seria
sen45=(M2/2)/(h/2)
sen45=M2/h
h=M2/0.707
si S=bh/2
S=M1[(M2/o.707)/(2/1)]
S=M1.M2/1.4142
M1.M2=1.4142S
se suponia que para que fueran 3/2S el resultado tenia que ser 1.5S
si tienen algun comentario pueden hacerlo :)
al fin llegue y aqui esta
ResponderBorrara ver como les parece mi solucion
http://i1239.photobucket.com/albums/ff517/miguelomar14/problema%201%20de%20septiembre/002.jpg
http://i1239.photobucket.com/albums/ff517/miguelomar14/problema%201%20de%20septiembre/001.jpg
Compañeros, más que subir la repsuesta quiero pedir ayuda, el problema si lo entendí, pero no lo pude solucionar, nisiquiera me salió el dibujo del triángulo, así que si alguien me puede explicar qué se hace se lo agradecería.
ResponderBorraroigan hasta que hora tenemos para publicar nuestras soluciones???
ResponderBorrarsegun yo si lo termine
ResponderBorrarjaja pero son 2 imagenes, si viste las dos?
Me parece que algunos estan demostrando el reverso de lo que les pide el problema, hay quienes estan demostrando que si las medianas son perpendiculares entonces el producto es $\frac{3}{2}S$. Cuando lo que tienen que demostrar es que si el producto es $\frac{3}{2}S$ entonces las medianas son perpendiculares. O pueden hacerle como Karina que demostro ambos.
ResponderBorrardespues de analizarlo hoy no se me ha ocurrido mucho (asi Nada) pero lo consultare con la almohada a ver si mañana se me ocurre algo
ResponderBorrarHasta Mañana :)
No lo pude resolver, demostrar no es lo mío. Aparte estaba haciendo lo que dice Isaí de demostrar el reverso. De todos modos cuando pueda escanear lo que hice, lo subo.
ResponderBorraryo lo resolvi, demostrando que si las medianas son perpendiculares, su multiplicacion va a ser 3/2 el area del triangulo.
ResponderBorrartenemos el triangulo ABC y del punto B sacamos la mediana a la linea AC y de C a AB. a los puntos los llamamos M y N respectivamente y al punto donde se intersecttan lo llamamos G. para q las lineas sean perpendiculares los angulos <NGM, <NGB, <BGC y <CGM miden 90 grados cada uno. tambn hay una propiedad de las medianas, q BG=2GM y CG=2GN
BG=2x
GM=x
CG=2y
GN=y
estas cuatro lineas son bases y alturas de los triangulos BGC, NGB, MGC, y NGM.
(2x*2y)/2 = BGC
(2x*y)/2 = NGB
(2y*x)/2 = MGC
(x*y)/2 = NGM
la suma de esos = (9xy)/2
y esto es igual al area de NBCM
esos cuatro triangulos son la mitad del cuadrado que se formaria al multiplicar NC*BM.
NC*BM = 3x*3y = 9xy
esto es pq NC = NG+GC = y+2y
y pq BM = BG+GM = 2x+x
y su multiplicacion es 3x*3y = 9xy
para uso del siguiente paso trazemos la mediana del punto A a la linea BC y llamemoslo O.
al triagulo ABC si le restamos NBCM nos quedaria solo el area NMA.
Si unimos los puntos N, M y O, al ser medianas el triangulo ABC se divide en 4 partes iguales.
esto nos dice q NMA es 1/4 de ABC y NBCM es 3/4.
ABC = s
NMA = 1s/4
NBCM = 3s/4
como mencionamos anteriormente
el area NBCM = (NC*BM)/2
entonces 3s/4 = (NC*BM)/2
NC*BM = 6s/4 = 3s/2
quiere decir que siempre que dos de las medianas sean perpendiculares entre si su multiplicacion sera 3/2 partes del triangulo.
NC*BM = 3s/2
FIN
NEIL PEREZ
Neil mira mi comentario porfas
ResponderBorrarlose acabo de verlo perdon estaba escirbiendo cuando tu posteaste eso, y ps no lo vi, aparte q se me hizo mas facil asi, pq dure mucho tiempo tratando de demostrarlo asi como tu dices y la vd no pude. y ps busq esta opcion y si lo logre, bueno eso creo vd.
ResponderBorrarNo pude escanear la imágen de lo que he hecho, asi que voy a tratar de explicarlo.
ResponderBorrarTenemos un triángulo isósceles acutángulo con vértices A,B y C, y sus respectivos ángulos a, b, y c, de tal manera que b=c.
La mitad entre los puntos C y B es L, entre A y C es M, y entre A y B es N, de tal manera que MB es perpendicular a NC, y AL se puede considerar la mayor de las alturas del triángulo.
Ahora unimos MN, NL, y ML, a manera de que quede un triángulo interno, que a su vez forme los triángulos AMN, MNL, y NLC. Ahora tenemos que:
AM=MC=NL=AN=NB=ML
MN=CL=LB
AC=AB
ánguloNCB=ánguloCBM=45°
ánguloCGB=ánguloMGN=ánguloNGB=ánguloBGC=90°
triánguloAMN=triánguloMCL=triánguloMLN=triánguloNLB
Ahora, la fórmula no la desarrollé muy lejos porque en lo que me tardé pensando en el problema se me hizo de noche y me dió sueño.
s=CB*AL/2
CN*MB=(3/2)s
CN*MB=(3CB*AL)/2
Ahora se que todo lo que hice, que no fue mucho, fue en vano porque se tenía que demostrar lo contrario, pero eso fue mi avance de hoy.
No fue en vano, solamente que era otro problema diferente =)
ResponderBorraryo lo pude resolver por que hize 4 triangulos difenrentes (escaleno, isosceles, equilatero y rectangulo) para poder comprobar que 3/2s era igual al producto de dos de sus medianas y lo medi las medianas que eran perpendiculare y me quedo el mismo resultado que al resto de mis compañeros
ResponderBorrarIrving, tu solución es incorrecta.
ResponderBorrarAl final de la primera hoja usas algo que no es cierto, deja te explico:
Llegaste correctamente a que $\frac{AC}{\sin{\alpha}} = \frac{BC}{\sin{(\alpha+\beta)}}$ y luego dices que por ley de senos llegamos a que $\angle BAC = \alpha + \beta$. Usando ley de senos se tiene que $\frac{AC}{\sin{\alpha}}= \frac{BC}{\sin{\angle BAC}}$ lo cual nos da que $\sin{(\alpha+\beta)} = \sin{\angle BAC}$, sin embargo esto NO implica que $\alpha + \beta = \angle BAC$.
Una identidad trigonométrica famosa es $\sin{\theta} = \sin{(180-\theta)}$.
De hecho si analizas tu dibujo, puedes ver que $\angle BAC = 180 -(\alpha + \beta)$ para que los ángulos sumen 180 grados en el triángulo ABC. Por eso los senos salen igual.
Entonces para que se cumpla mi solución alfa + beta tienen que ser igual a 90° ya que solamente asi se tendra que ángulo BAC=180-(alfa+beta)=alfa +beta, ya nomas me faltaria demostrar eso.
ResponderBorrarNo se como no me salio antes :S
ResponderBorrarSea B' y A' los puntos medios que forman las medianas que cumplen.
$AA' \times BB' = \frac{3}{2} S$
$AA' = 3/2 AD$
y esto igual con BB', y tenemos que:
$\frac{3}{2}AD \times \frac{3}{2}BD = \frac{3}{2} S$
desarrollamos y llegamos a
$\frac{BD \times AD}{2} = \frac{S}{3}$
Si $\angle ADB = 90$ BD y AD serian la base y la altura que determinarian el area, asi que necesitamos demostrar que el area es S/3
AA'B = AA'C porque comparten altura, y sus bases miden lo mismo, asi que AA'B es la mitad de S
como AD es 2/3 de ABA', entonces sus areas tienen esa misma razon
tenemos que ABD = 2/3 (S/2)
ABD = S/3
y eso queriamos demostrar...
Que es D?
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