Para novicios:
-Demostrar el criterio de divisibilidad del $11$.
Para avanzados (éste me lo encontré, talvez no sea muy útil, pero si está impresionante):
-In $1647$, Mersenne noted that when a number can be written as a sum of two relatively prime squares in two distinct ways, it is composite and can be factored as follows: if $n=a^2 +b^2 =c^2 +d^2$, then
\[n=\frac{(ac+bd)(ac-bd)}{(a+d)(a-d)}\]
Use this result to factor the numbers
\[493=18^2 +13^2 =22^2 +3^2\]
and
\[38,025=168^2 +99^2 =156^2 +117^2\]
Tenemos que demostrar tambien el resultado de Mersenne para el problema avanzado?
ResponderBorrarandaba viendo la pagina de pablo.. en una de esas.. tiene algo parecido a lo de Mersenne.. lo hace con geometria..esta muy padre
ResponderBorrarSolucion avanzado:
ResponderBorrarPara el resultado de Mersenne supongamos que el numero es primo, ahora es conocido que un primo se puede escribir como suma de dos cuadrados de a lo mas una forma (http://pablosoberon.wordpress.com/2010/04/04/teoria-de-numeros-y-geometria/), entonces tenemos una contradiccion y por lo tanto el numero es compuesto.
Notemos que $n=a^2+b^2=c^2+d^2$ implica que $a^2-d^2=c^2-b^2$
Entonces $n=c^2+d^2$ lo podemos escribir como
\[c^2+\frac{d^2(c^2-b^2)}{a^2-d^2}\]
Entonces con un poco de manipulacion algebraica:
\[\frac{c^2(a^2-d^2)+d^2(c^2-b^2)}{a^2-d^2}=\frac{c^2a^2-b^2d^2}{a^2-d^2}=\frac{(ac+bd)(ac-bd)}{(a+d)(a-d)}\]
Usando este resultado:
\[493=\frac{3^2(145)(119)}{21(15)}=29(17)\]
\[38025=\frac{3^4(4199)(1625)}{285(51)}=3^2(5^2)(13^2)\]
Para el criterio de divisibilidad del 11, se considera un numero a = $a_m$$a_(m-1)$$a_(m-2)$...$a_2$$a_1$$a_0$.
ResponderBorrara = $a_m$$10^m$ + $a_(m-1)$$10^(m-1)$ + $a_(m-2)$$10^(m-2)$ +...+ $a_2$$10^2$ + $a_1$10 + $a_0$
Ahora
$ 10 \equiv -1 \pmod{11} $
Por lo tanto
$ $a_m$$10^m$ + $a_(m-1)$$10^(m-1)$ + $a_(m-2)$$10^(m-2)$ +...+ $a_2$$10^2$ + $a_1$10 + $a_0$ \equiv $a_m$$(-1)^m$ + $a_(m-1)$$(-1)^(m-1)$ + $a_(m-2)$$(-1)^(m-2)$ +...+ $a_2$$(-1)^2$ + $a_1$(-1) + $a_0$ \pmod{11}
Si m es impar, entonces:
$ a \equiv $-a_m$ + $a_(m-1)$ - $a_(m-2)$ +...+ $a_2$ - $a_1$ + $a_0$ \pmod{11}
Donde aquí depende de las cifras para que el resultado sea un multiplo de 11.
Y si m es par, entonces:
$ a \equiv $a_m$ - $a_(m-1)$ + $a_(m-2)$ -...+ $a_2$ - $a_1$ + $a_0$ \pmod{11}
Donde aquí depende de las cifras para que el resultado sea un multiplo de 11.
Para el criterio de divisibilidad del 11, se considera un numero a = $a_m$ $a_{m-1}$ $a_{m-2}$ ... $a_2$ $a_1$ $a_0$.
ResponderBorrara = $a_m$$10^m$ + $a_{m-1}$ $10^{m-1}$ + $a_{m-2}$ $10^{m-2}$ + ... + $a_2$ $10^2$ + $a_1$ 10 + $a_0$
Ahora
$ 10 \equiv -1 \pmod{11} $
Por lo tanto:
$ $a_m$ $10^m$ + $a_{m-1}$ $10^{m-1}$ + $a_{m-2}$ $10^{m-2}$ + ... + $a_2$ $10^2$ + $a_1$ 10 + $a_0$ \equiv $a_m$ $(-1)^m$ + $a_{m-1}$ $(-1)^{m-1}$ + $a_{m-2}$ $(-1)^{m-2}$ +...+ $a_2$ $(-1)^2$ + $a_1$ (-1) + $a_0$ \pmod{11} $
Si m es impar, entonces:
$ a \equiv $-a_m$ + $a_{m-1}$ - $a_{m-2}$ + ... + $a_2$ - $a_1$ + $a_0$ \pmod{11} $
Donde aquí depende de las cifras para que el resultado sea un multiplo de 11.
Y si m es par, entonces:
$ a \equiv $a_m$ - $a_{m-1}$ + $a_{m-2}$ -...+ $a_2$ - $a_1$ + $a_0$ \pmod{11} $
Donde aquí depende de las cifras para que el resultado sea un multiplo de 11.
Para el criterio de divisibilidad del 11, se considera un numero a = $a_m$ $a_{m-1}$ $a_{m-2}$ ... $a_2$ $a_1$ $a_0$.
ResponderBorrara = $a_m$ $10^m$ + $a_{m-1}$ $10^{m-1}$ + $a_{m-2}$ $10^{m-2}$ + ... + $a_2$ $10^2$ + $a_1$ 10 + $a_0$
Ahora
$ 10 \equiv -1 \pmod{11} $
Por lo tanto:
$a_m$ $10^m$ + $a_{m-1}$ $10^{m-1}$ + $a_{m-2}$ $10^{m-2}$ + ... + $a_2$ $10^2$ + $a_1$ 10 + $a_0$ \equiv $a_m$ $(-1)^m$ + $a_{m-1}$ $(-1)^{m-1}$ + $a_{m-2}$ $(-1)^{m-2}$ +...+ $a_2$ $(-1)^2$ + $a_1$ (-1) + $a_0$ \pmod{11}
Si m es impar, entonces:
a \equiv - $a_m$ + $a_{m-1}$ - $a_{m-2}$ + ... + $a_2$ - $a_1$ + $a_0$ \pmod{11}
Donde aquí depende de las cifras para que el resultado sea un multiplo de 11.
Y si m es par, entoonces:
a \equiv $a_m$ - $a_{m-1}$ + $a_{m-2}$ - ... + $a_2$ - $a_1$ + $a_0$ \pmod{11}
Donde aquí depende de las cifras para que el resultado sea un multiplo de 11.
Ahi disculpen los errores, pero estaba batallando para ver como salia bien jeje
ResponderBorrarPara aquellos que no saben, \equiv es el simbolo de congruencia en Latex y pmod{11} es el modulo 11
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