A partir de este momento se deja de publicar el "Problema del dia para novicios" y ahora pasa a ser solamente "Problema del dia". Estaremos poniendo problemas cada dia, asi como David les dijo despues de la premiación, los preseleccionados estatales deberán mostrar evidencia de que trabajaron en los problemas, ya sea poner la solución completa, poner solo las ideas que resuelven el problema, la forma en que lo estan intentando, dudas acerca de la redaccion, etc. No se fijen en que si alguien ya subió solución del problema o no, ustedes publiquen su solución.
Las soluciones se deben de subir en un comentario, pueden hacerlo en texto normal, en $\LaTeX{}$, a mano y escanearla y poner un link a la imagen, en cualquier documento de office, o cualquier otra forma que se les ocurra.
Y ahora el problema del dia de hoy:
Considera la suma, la diferencia positiva, el producto y el cociente mayor que $1$ de dos enteros positivos distintos. Si al sumar los cuatro resultados obtienes $450$, determina los dos números.
La verdad es que este tipo de problemas no son exactamente mi fuerte pero he ido haciendo lo que he podido. Lo que hice primero fue agruparlos en suma y resta, y multiplicación y división. Luego me di cuenta de que en el primer grupo el resultado es dos veces el número mayor, sin importar cual sea el menor. x= número mayor y=número menor (x+y)+(x-y)=(x+x+y-y)=(x+x)=2x
ResponderBorrarAqui el problema es que no pude agrupar la multiplicación y la división porque hay un signo de suma entre ellos.
Haciendo las operaciones una por una lo mas cercano que encontré fue x=60 y=5, x=65 y=5. Bueno, creó que mejor lo consultaré con la almohada. Hasta mañana
450=(a+b)+(a-b)+(ab)+(a/b)
ResponderBorrartomando a>b
2a+(ab)+(a/b)= 450
si tomamos a=28, b=14
esto se cumple!
2(28)+((28)(14))+(28/14)
56+392+2=450
Creo que seria buena idea si ademas de encontrarlos determinaran si es unica o no.
ResponderBorrarJesus Jose Garcia
ResponderBorraryo lo intente de esta manera:
(x+y)+(x-y)+xy+(x/y)=450
2x + xy + x/y = 450
x( 2 + y + 1/y) = 450
x( [2y +y^2 + 1]/y ) =450
x = (450/1) / [(y+1)^2 / y]
x = 450y / (y+1)^2
(y+1)^2 = 450y/x
y+1 = raiz(450y/x)
y+1 = raiz(450y) / raiz (x)
para que la ultima afirmacion fuera sierta y "y" fuera positiva hay 2 posibilidades
1ra que x fuera un cuadrado perfecto y 'y' tuviera entre sus multiplos un 2^(2k+1)
entonces si y=2, x=100
100+2 + 100-2 + 100(2) + 100/2 = 450
con y = 8, x no es entera
el caso 2 seria que las raices no fueran exactas pero la divicion si diera un numero entero
esta ultima no la eh investigado todabia.
Se tienen los numeros "x" y "y" tal que x > y, entonces tenemos:
ResponderBorrar(x+y)+(x-y)+(xy)+(x/y)=450
x+y+x-y+xy+x/y=450
2x+xy+x/y=450
x(2+y+1/y)=x((2y+y^2+1)/y)=x(y+1)^2/y=450
(y+1)^2=450(y/x)
Sabemos que x/y es mayor a 1 pero el reciproco de este cociente(y/x)resulta ser menor que 1 pero mayor que 0. Y como "y" es un entero positivo, entonces (y+1)^2 implica que 450(y/x) es un cuadrado perfecto. Ahora los cuadrados perfectos menores que 450 son: 441, 400, 361, 324, 289, 256, 225, 196, 169, 144, 121, 100, 81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1.
Respectivamente los valores de "y" serían: 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, y 1.
Usando la ecuación:
(y+1)^2=450(y/x)
se puede calcular los valores de x con más facilidad
Después de usar esta operacion varias veces se obtienen 3 valores "x" y "y" que cumplen con las condiciones del problema.
Tenemos:
450(y/x)=225
450y=225x
450(14)=225x
x=28
450(y/x)=25
450y=25x
450(4)=25x
x=72
450(y/x)=9
450y=9x
x=100
Estos se pueden comprobar usando la ecuacion dada por el problema y si cumplen.
Entonces, se tienen 3 parejas (x,y)= (28,14), (72,4), y (2,100).
En la ultima quise decir (100,2)
ResponderBorrarspdg a>b
ResponderBorrarsuma: a+b
diferencia: a-b
producto: a*b
cociente: a/b
suma de eso:
a+b+a-b+(ab)+(a/b) = 450
2a+ab+a/b = 450
a(2+b+1/b) = 450
a[ (bb+2b+1)/b ] = 450
a[ (b+1)^2 /b ] = 450
y hasta ahi voy :P
hize lo mismo quue mis compañeros pero nomas llegue hasta x=(450y)/(y+1)^2 pero ya vi el razonamiento de mis compañeros y me di cuenta de como podia resolverlo
ResponderBorrarlo hice cuando estaba aburrido en clase :P
ResponderBorrarno se si alguien lo hizo asi....
spdg a>b
suma: a+b
diferencia: a-b
producto: a*b
cociente: a/b
suma de eso:
a+b+a-b+(ab)+(a/b) = 450
2a+ab+a/b = 450
a(2+b+1/b) = 450
a[ (bb+2b+1)/b ] = 450
a[ (b+1)^2 /b ] = 450
despejamos a
a= 450b / (b+1)^2
como (b,b+1) = 1
(b, (b+1)^2) = 1
por lo tanto para que a sea entero,
(b+1)^2 | 450
450 = 2x3x3x5x5
asi que los cuadrados que dividen a 450 son:
3x3=9 , 5x5=25 , 3x3x5x5=225
vemos cada uno por separado:
(b+1)^2=9
b+1=3
b=2
a= 450(2)/9 = 100
(b+1)^2=25
b+1=5
b=4
a= 450(4)/25 = 72
(b+1)^2=225
b+1=15
b=14
a= 450(14)/225 = 28
Y asi formamos las parejas
(100,2), (72,4) y (28,14)
:D
comenzando con (x+y)+(x-y)+(xy)+(x/y) comenze a espejar la formula de la siguiente manera:
ResponderBorrar2x+xy+x/y=450
x(2+y+1/Y)=450
x((2y+y^2+1)/y)=450
x((y+1)^2)/y)=450
x=450y/(y+1)^2
Tras dar varios valores a "y" si utlizamos 2 y 4 se cumple un numero entero:
100=450(2)/(2+1)^2
72=450(4)/(4+1)^2
Por lo tanto encontre x=100 x=72 y=2 y=4
Despues vi que los demas habian encontrado una mas que yo no habia notado: x=28 y=14
El principio exactamente igual que Alberto hasta donde llegas a $\frac{a(b+1)^2}{b}\$
ResponderBorrar$450=(2)(3^2)(5^2)$
tienes que
caso 1) $(b+1)^2=3^2$
$b+1=3$
$b=2$
$\frac{a}{2}=50$
$a=100$
caso 2) $(b+1)^2=5^2$
$b+1=5$
$b=4$
$\frac{a}{4}=18$
$a=72$
caso 3) $(b+1)^2=15^2$
$b+1=15$
$b=14$
$\frac{a}{14}=2$
$a=28$
tarde más para escribirlo con $\LaTeX{}$ y parece ser la solución que tienen todos jeje
ResponderBorrarErick Escobar
ResponderBorrara + b + a - b + ab + a/b = 450
2a + ab + a/b = 450
a(2 + b + 1/b) = 450
a = 450 / (2 + b + 1/b)
a = 450 / ((2b + b^2 + 1)/b)
a = 450b / (b + 1)^2
La verdad hasta aqui llegue pues ya no supe como calcular lo demas, estudiando los resultados de los demas me surgio la duda de como poder seguir adelante, a que se refieren con que (b,b+1)=1 y (b,(b+1)^2)=1
x+y+x-y+xy+x/y=450
ResponderBorrar2x+xy+x/y=
x(2+y+1/y)=
x(2y+y^2+1)/y=
x/y*(y+1)^2=450
(y+1)^2=450y/x
tenemos que x>y
450y/x=#<450
por lo tanto # es divisor de 450 y ademas es un cuadrado perfecto
los unicos divisores de 450 que son cuadrados perfectos son 9, 25, 225
9=(y+1)^2
3=y+1
2=y
450(2/x)=9
450(2)=9x
900=9x
100=x
este es el primer caso
25=(y+1)^2
5=y+1
4=y
450(4/x)=25
450(4)=25x
1800=25x
72=x
este fue el segundo caso
225=(y+1)^2
15=y+1
14=y
450(14/x)=225
450(14)=225x
6300=225x
28=x
este fue el tercer y ultimo caso
FIN
yo lo que hize fue ponerme a despejar asi como todos, y tambn llegue a la formula esa de
ResponderBorrar(a(b+1)^2)/b=450. de ahi ya no podia salir, y lo que me puse a hacer, fue a sustituir valores de b, empeze con 1 y salio b=1, a=112.5, pero no cumple porque no es entero, depues sustitui b=2 y me salio a=100.le segui: b=3, a=88.5; b=4, a=72; b=5, a=62.5 despues de esto ya tenia algunos de los numeros q eran enteros a=100,b=2; y a=72,b=4, pero no sabia como comprabar si habia mas. y ya me puse a intentarlo y no pude encontrar una relacion buena. pero fue mi avance, o mi intento de resolverlo.
ya ahorita me puse a razonar las respuestas de alberto y karina y creo q si entendi eso de (b,b+1) = 1
(b, (b+1)^2) = 1
es porque en la formula despejando a
a= 450b / (b+1)^2
para q "a" sea entero necesitamos una "b" que sea (b+1)^2|x450b
donde "x" debe ser un numero entero y tambien cabe b dentro de x entonces x|b(x).
queda (b+1)^2|x450 = (b+1)^2|450
y ya ellos sacaron los cuadrados posibles q dan 450, q puede ser 3^2,5^2 y 15^2. pq 450=(2)(3)(3)(5)(5).
esa fue mi manera de razonar lo que ellos hicieron.
con el problema tienes que:
ResponderBorrar(x+y)+(x-y)+(xy)+(x/y)=450 siendo x>y
y como el resultado da un numero exacto entonces el cociente tiene que ser un numero exacto, entonces supuse que era 2
y con esto la ecuacion quedaria asi:
(2x+x)+(2x-x)+(2x^2)+(2x/x)=450
3x+x+2x^2+2=450
4x+2x^2-448=0
(4x+2x^2-448=0)/2
x^2+2x-224=0
y por factorizacion queda asi:
x=-16
x=14
si tomamos el 14 y lo usamos como si fuera "y" y 28 que es el doble de 14 como si fuera "x":
(x+y)+(x-y)+(xy)+(x/y)=450
(28+14)+(28-14)+(28*14)+(28/14)=450
42+14+392+2=450
450=450
y dos numeros que cumplen serian 14 y 28
pero viendo los comentarios vi que hay mas parejas que cumplen, nomas me faltaria buscarlas
FIN
bueno, primero al igual que mis compañeros desarrolle la equacion
ResponderBorrarhasta:
[a(b+1)^2]/b=450
sabemos que a>1, b>1 y que a/b≥2 donde a/b es entero
llamemos "n" a a/b entonces:
n(b+1)^2=450
n=450/(b+1)^2
como n es entero, solo busco cuales son los cuadrados que dividen a 450. La descomposicion prima de 450 es 2*3*3*5*5 ∴ los unicon factores cuadraticos de 450 son:
b1: 3^2=9
b2: 5^2=25
b3: 5*3^2=225
A estos les saco raiz y les resto 1 para saber el valor de b
b1=2
b2=4
b3=14
sustituyendo y despenjando obtenemos los valores de las 3 parejas
p1: (100,2)
p2: (72, 4)
p3: (28.14)
Bryan Felix
Para todos los mas nuevos, los que significa que (b, b+1) = 1 es que b y b+1 son primos relativos entre si. Dicho de otra forma, no tienen ningun primo en comun por lo que su maximo comun divisor es 1. Dos numeros naturales consecutivos no tienen primos entre si, como entre b y b+1.
ResponderBorrarEs importante notarlo en la solucion debido a que ello explicaba que de 450b/(b+1)^2, el cuadrado solo podia dividir al 450 y no al termino b.
Bien por Alberto que lo puso en su solucion, Kapadesa, gracias por hacerlo en Latex para que se viera entendible para todos.
Y a todos, gracias por el esfuerzo, con el tiempo se iran acostumbrando a este tipo de demostraciones. Ahorita practicamente todos vamos de cero, sigan trabajando, leyendo las ideas de los demas y posteando!
Faltan todavia algunos de publicar sus ideas!!!
@karina, en tus casos pusiste:
ResponderBorrara/2=50
a/4=18
a/14=2
de donde salio eso? o_O
@erick escobar, preguntaste:
a que se refieren con que (b,b+1)=1 y (b,(b+1)^2)=1
significa que b y b+1, y b y (b+1)^2 son primos relativos, es decir, que no tienen ningun divisor en comun ademas del 1
(a,b)=1 significa que el MCD de a y b es uno
gracias omar :P
ResponderBorrarErick Escobar
ResponderBorrarGracias Alberto, tenia una idea de eso pero queria asegurarme
Me alegra la cantidad de respuesta que tuvo el problema del dia, ya les puse el de hoy jeje
ResponderBorrarSamanta Medina.
ResponderBorrartambien depejando llegue a
450y/(y+1)^2=x
y como (y,y+1)=1
(y+1)^2|450
(2)(3^2)(5^2)=450
caso 1
(y+1)^2=3^2
y=2
x=[450(2)]/(2+1)^2
x=100
caso 2
(y+1)^2=5^2
y=4
x=[450(4)]/(4+1)^2
x=72
y pues yo no tenia caso 3 pero con la solucion de karina supe que habia caso 3
caso 3
(y+1)^2=15^2
y=14
x=[450(14)]/(14+1)^2
x=28
Yo se que esto ya queda fuera de cuenta, pero por fin pude resolverlo (despues de un dia, y una super clase de algebra en la que aprendi más de lo que he apredido en los últimos 4 meses):
ResponderBorrarx+y+x-y+xy+x/y=450
2x+xy+x/y=450
y(2x+xy+x/y=450)
2xy+xy^2+xy/y=450y
x(2y+y^2+1)=450y
x(y+1)(y+1)=450y
x(y+1)^2=450y
x=450y/(y+1)^2
Hasta ahí desarrollé la fórmula, y ahora todo lo que se debe hacer es encontrarle un valor a "y" que después de resolver el denominador, éste sea divisor de 450y.
1 no puede ser porque:
x=450*1/(1+1)^2
x=450/4
Entonces, se pasa al siguiente integral.
x=450*2/(2+1)^2
x=900/9
x=100
Entonces, los dos números que se buscan son 100 y 2.
Además, hay otras respuestas, pero esta fue la única que pude resolver.
Diana Hernandez
ResponderBorrartambien despeje la formula hasta k me kedara 450y/(y+1)^2
pero como el problema no te pide que los dos numeros tengan que ser enteros, puedes simplemente sustituir una ingognita de la ecuacion con cualquier numero y te dara el numero que seria la otra incognita; por ejemplo:
si tomamos a y=3
x= 450(3)/(3+1)^2= 84.375
@Diana:
ResponderBorrarEl problema dice "de dos enteros positivos distintos"
Luis Sánchez
ResponderBorrarSuponiendo que "x" es mayor si la suma de (xy)+(y/x)+(x-y)+(x+y)= xy+ y/x + x-y + x+y = 2x + xy + y/x=450
450/2x + xy + y/x=1
450/xy + y/x=-2x
(450/xy + y/x)/2=-x
x= -[(450/xy + y/x)/2]
no se como sacar un numero exacto k concuerde con esto.