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jueves, 5 de agosto de 2010
Problema del día.
Problema para novicios:
-Demostrar que si $a$ es impar, entonces $32|(a^2 +7)(a^2 +3)$
Hola, yo soy el "anónimo" jejeje. Llegué de casualidad a este blog por un link que mi profesor de matemáticas puso en su facebook (lo publicó). Algunos problemas me parecieron interesantes, pude solucionar alguno que otro (oomo este), pero otros sigo intentando. Me llamo Jesús Siller (no tengo un perfil de blogger) y yo estoy participando en la Olimpiada de Matemáticas, pero de Nuevo León.
ah pues BIENVENIDO, Jesus. Esperamos que sigas contribuyendo con tus soluciones a los distintos problemas que aqui publicamos.. te recomiendo que crees un perfil de blogger, para que sepamos que tu eres quien ha enviado la solucion para futuros problemas.
Un saludo, y agradece a tu profesor de nuestra parte.
$a=2n+1$
ResponderBorrar$32|[(2n+1)^2+7][(2n+1)^2+3]$
Expandiendo y juntando términos semejantes...
$32|16n^4+32n^3+64n^2+48n+32$
$P(n)=16n^4+32n^3+64n^2+48n+32$
Y se puede usar inducción...
Para $n=1, P(n)=192 y 32|192$
Para $n=k, 32|16n^4+32n^3+64n^2+48n+32 --> 32a$
Para $n=k+1$, tenemos que:
$32|16k^4+96k^3+256k^2+336k+32$
$32|16k^4+32k^3+64k^3+64k^2+192k^2+48k+288k+32$
$32|32a+32(2k^3+6k^2+9k)$
$32|32(a+2k^3+6k^2+9k)$
$32|32b$
muy buena solucion "anónimo"... quién eres? no creo que seas de los alumnos que estamos entrenando... sabes induccion.. pero igual.. excelente.
ResponderBorrarHola, yo soy el "anónimo" jejeje. Llegué de casualidad a este blog por un link que mi profesor de matemáticas puso en su facebook (lo publicó). Algunos problemas me parecieron interesantes, pude solucionar alguno que otro (oomo este), pero otros sigo intentando. Me llamo Jesús Siller (no tengo un perfil de blogger) y yo estoy participando en la Olimpiada de Matemáticas, pero de Nuevo León.
ResponderBorrarUn saludo,
ah pues BIENVENIDO, Jesus. Esperamos que sigas contribuyendo con tus soluciones a los distintos problemas que aqui publicamos.. te recomiendo que crees un perfil de blogger, para que sepamos que tu eres quien ha enviado la solucion para futuros problemas.
ResponderBorrarUn saludo, y agradece a tu profesor de nuestra parte.
pues ya que pusieron solucion.. yo les mando la mia:
ResponderBorrar***SPOILER****
$a^2 +7 \equiv 8\equiv 0 \pmod{8}$
$a^2 +3 \equiv 4\equiv 0 \pmod{4}$
entonces
$(a^2 +7)(a^2 +3) \equiv 0 \pmod{32}$ como queriamos demostrar.
***END OF SPOILER***
jajaj buena solucion, pero deberias explicar mas a fondo porque \[a^2+7 \equiv 8 \equiv 0 \pmod{8}\]
ResponderBorrardigo, no por mi, sino porque este blog lo ven los novicios
ResponderBorrarjeje ok,
ResponderBorrar$a \equiv 1,3,-3,-1 \pmod{8}$ por ser $a$ impar.
luego, $a^2 \equiv 1\pmod{8}$
de ahi que $a^2 +7 \equiv 1+7\equiv 8\equiv 0\pmod{8}$ ■
saludos
lo mismo para el caso de $a^2 +3\equiv 0\pmod{4}$
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