Si creyeron que porque no pusimos problemas en dos dias se escaparon de esos dos dias, pues no es asi jeje.
1. a) Encuentra la mayor potencia de $2$ que divide a $100!$, b) Encuentra la mayor potencia de $2$ que divide a $n!$,
2. Un amigo fue a una fiesta y nos dijo "Fueron $17$ personas y cada una saludó a exactamente $5$ personas". ¿Le crees?
3. Sea $ABCD$ un cuadrilatero cíclico, una circunferencia $\gamma_1$ que pasa por $A$ y $D$ corta a la recta $AB$ en $E$, y otra circunferencia $\gamma_2$ que pasa por $C$ y $D$ corta a la recta $BC$ en $F$. Sea $G$ el segundo punto de intersección de $\gamma_1$ y $\gamma_2$. Muestre que $E$, $F$ y $G$ son colineales.
Soluciones a los primeros dos:
ResponderBorrar1) La mayor potencia de 2 que divide a $n!$ es $$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{8}\right\rfloor + \ldots$$
2) Lo podemos analizar como un grafo que tiene 17 vértices representando a las personas y una arista se forma si se saludan dos personas. Si sumamos los grados de todos los vértices nos da 2 veces el número de aristas, es decir, un número par. Sin embargo si todos saludaron a $5$ personas, entonces todos los vértices tienen grado $5$. Por lo tanto la suma de los grados de los vértices es $5\times 17 = 85$, lo cual es impar. Dandonos una contradicción.
Hey kiks, era para novicios ;)
ResponderBorrarQuique siempre sera un novicio en su corazón, jeje
ResponderBorrarcomo que colineales? S:
ResponderBorrarColineales = que los 3 puntos estan en una misma linea.
ResponderBorrarPues antes no los contestaba, pero veía que Daniel y tú contestaban cualquiera, así que los conteste.
ResponderBorrarNomas contestabamos los avazandos, que son para cualquiera jeje
ResponderBorrarNo me gusta tanto el problema 1 para novicios, me gusta más hacerlo mas especifico. Como 100!. Al hacerlo general se vuelve mas dificil de lo que parece.
ResponderBorrarlo acabo de cambiar jeje
ResponderBorrarBien hecho.
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