Para seleccionados regionales:
-En la siguiente progresión aritmética: $t_1 , t_2 ,..., t_{47}$, la suma de los términos impares es $$1272$$. ¿Cuál es la suma de los $$47$$ términos?
Para avanzados:
-Si las soluciones a, b y c de la ecuación $$x^3-2x^2-5x+6=0$$ son distintas de cero, ¿cuál es el valor de:
\[\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc}\]?
Les debo el de "muy avanzados" (entrenadores)... se los publico por la tarde.
Edit de Isai:
Ya tenemos $$\LaTeX{}$$ en el blog!!!!
Edit 2 de Isai:
Y hasta funciona en los comentarios!!!!!!
Probando LaTeX en comentarios!!
ResponderBorrar$$x^3$$
Solucion del 2 para probar $\LaTeX{}$
ResponderBorrarSea $P(x) = x^3-2x^2-5x+6$
Primero busquemos los ceros racionales, por el teorema del cero racional sabemos que tales ceros podrian ser $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$
Tenemos que $P(1)=1-2-5+6=0$ Asi que 1 es una solucion.
Haciendo division sintetica nos queda que $P(x)=(x-1)(x^2-x-6)$
Lo cual se puede factorizar facilmente en
$P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)$
Asi que las soluciones son $1,3,-2$
Sea $a=1,b=3,c=-2$ entonces tenemos que
$ab=3,ac=-2,bc=-6$
Y entonces:
\[\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc}=\frac{1}{3} + \frac{1}{-2} + \frac{1}{-6}=-\frac{1}{3}\]
Estoy tan emocionado porque tenemos $\LaTex{}$ que voy a poner otra solucion!!
ResponderBorrarPor el teorema fundamental del algebra sabemos que $P(x)=x^3-2x^2-5x+6=(x-a)(x-b)(x-c)$
Exapandiendo esta ultima expresion tenemos que: \[P(x)=x^3-2x^2-5x+6=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc\]
Como dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales, entonces \[a+b+c=2,ab+bc+ca=-5,abc=-6\]
Ahora notemos que:
\[\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3}\]
Lo de $a+b+c=2,ab+bc+ca=-5,abc=-6$ sale directamente de las formulas de Viette, pero puse todo para seguir probando $\LaTeX{}$
ResponderBorrarProbando el LaTex:
ResponderBorrar$x^7 + \sum_{i\leq 7} i$
Probando mas
ResponderBorrar$\displaystyle\sum_{i\leq n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$$\prod_{p \leq x} p = e^x$$
Que te parece kiks?, esta bueno lo que le instale al blog xD.
ResponderBorrarLuego posteo una guia para usar $\LaTeX{}$ para los que no saben
Y esto se agrego a cualquier sitio de blogspot?
ResponderBorrarNope, es un plug-in que encontre por ahi, deja pongo la liga por si a alguien le interesa:
ResponderBorrarhttp://watchmath.com/vlog/?p=438
Nice Isai, luego se lo agregas al IMO site no?, para ahora que empecemos a entrenar para la Ibero
ResponderBorrarYa se lo puse de una vez pandita jeje
ResponderBorrar+test
ResponderBorrar$p_1$