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viernes, 30 de julio de 2010

Guia para usar LaTeX

Para poner un codigo en LaTeX basta ponerlo entre signos de ,siloponesentredoblesignode saldra en linea pero con letra mas grande y para ponerlo grande y centrado hay que ponerlo asi hay que usar [codigolatex]

Aqui hay una guia en otro sitio que esta muy buena http://www.matetam.com/de-consulta/acordeones/latex

Si ves alguna expresión matemática en este blog y quieres saber como se escribió, solo basta poner el cursor encima de la expresión matemática y saldrá el código LaTeX que se usó para esa formula.

Aqui un ejemplo:
x=b±b24ac2a
Es la formula general para las ecuaciones cuadráticas, es decir de la forma ax2+bx+c=0

Pueden hacer experimentos con los comentarios de este post.

Ademas aqui esta una pagina con mas ejemplos:
http://www.watchmath.blogspot.com/

162 comentarios:

  1. Para que vean todavia mas ejemplos de LATEX, les voy a demostrar la formula general de las cuadraticas.

    Tenemos ax2+bx+c=0, dividimos todo entre a x2+bxa+ca=0
    Dejamos todo lo que tiene x de un lado:
    x2+bxa=ca
    Completamos el cuadrado:
    x2+bxa+b24a=ca+b24a
    Factorizamos y juntamos fracciones:
    (x+b2a)2=b24ac4a2
    Sacamos raiz de ambos lados:
    x+b2a=±b24ac4a2
    Despejamos x y juntamos fracciones:
    x=b±b24ac2a

    Q.E.D

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  2. probado latex ab12

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  3. (n)(n+1)2

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  4. (22)+(32)++(n+12)

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  5. n \equiv 1 \pmod{3}

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  6. 9 \times \sqrt{3}

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  7. (b+1)^2=3^2
    b+1=3 b=2 y \frac{a}{2}=50 a=100

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  8. (b+1)^2=15^2
    b+1=15
    b=14
    \frac{a}{14}=2
    a=28

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  9. \frac{\frac{A^{2}}{\sqrt{B}}}{C}= \frac{CA^{2}}{\sqrt{B}}

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  10. Y en general...cuanto seria?
    Si:

    1) N=2^\alpha \times 5^\beta

    2) N=p_1^{\alpha_1} \times ... \times p_k^{\alpha_k}

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  11. a^2 + b^2 +c^2 = 3

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  12. \iota \sigma \alpha \iota

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  13. \frac{1}{OX} = \frac{1}{Y} + \frac{1}{Z}

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  14. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  15. \sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{a}\sum_{c=0}^{14}

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  16. \sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}

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  17. \sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{a}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})

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  18. binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}

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  19. \sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}(\frac{1}{3^a^+^b^+^c})

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  20. \sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})

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  21. \binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}(\frac{1}{3^a^+^b^+^c})

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  22. (\frac{1}{3^a^+^b^+^c})

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  23. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  24. \sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}\frac{1}{3^a^+^b^+^c}

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  25. \frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}(\frac{1}{3^a^+^b^+^c})

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  26. \frac{15-c}{15} \binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b} \frac{1}{3^a^+^b^+^c}

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  27. \frac{1}{3^a^+^b^+^c}

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  28. \frac{1}{3^a^+^b^+^c}

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  29. \frac{1}{3^a^+^b^+^c}

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  30. \frac{1}{3^a^+^b^+^c}

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  31. \sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}\frac{1}{3^a3^b3^c}

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  32. Conclusiones, bibliografía.
    \sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}\frac{1}{3^a3^b3^c}\f{a+b+c}

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  33. Conclusiones, bibliografía.
    \sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}\frac{1}{3^a3^b3^c}f(a+b+c)

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  34. \sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{9}\sum_{c=0}^{14}(\frac{5-a}{5}\frac{10-b}{10}\frac{15-c}{15})\binom{a+b+c}{a}\binom{a+b}{b}\frac{1}{3^a3^b3^c}f(a+b+c)

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  35. a^p \equiv a \pmod{p}

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  36. Encontraremos todos los datos que se pueden obtener del problema. Primero que nada. En la recta l, colocaremos Z de tal manera que C quede entre E y Z.

    Sabiendo que: angulo inscrito = angulo seminscrito. \angle BCZ = \angle CAN=\delta. Y teniendo que EF es paralela a BC, \angle BAC = \delta.

    Con esta misma regla: \angle ECG = \angle CBN = \beta.
    Tambien podemos observar que: \angle CFE = \angle BCF = \alpha.
    Y, \angle ACB = \angle CGF =\angle CGE = 90.
    Podemos decir que \delta = 90-\beta.
    Con esto podemos decir por ejemplo, \triangle BCN \equiv \triangle CEG.
    Entonces, \delta = \ alpha.
    Siendo asi, \triangle CEF es isosceles. Y, CG, es altura y mediana.

    Con esto queda comprobado que, EG = GF

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  37. Bueno mi solución no es mas que desarrollar la ecuación hasta llegar a un punto donde podemos afirmar que la suposición es cierta.

    Para no hacer la respuesta tan larga, pondré el desarrollo de la formula de forma consecutiva sin exponer explicaciones.

    \sqrt{4n^2+n} = \sqrt{n(4n+1)} = \sqrt{n} \sqrt{4n+1} = \sqrt{n} \sqrt{4(n+\frac{1}{4}} = \sqrt{n} \sqrt{4} \sqrt{n+\frac{1}{4}} = 2\sqrt{n} \sqrt{n+\frac{1}{4}} = 2\sqrt{n} \sqrt{n(1+\frac{1}{4n}} = 2\sqrt{n} \sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{4n}} = 2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}}

    2n es entero. Tenemos \sqrt{1+\frac{1}{4n}}, lo que sera raíz de 1 mas una fracción. El valor mas grande que puede tener esa fracción es cuando n=1. Entonces el valor mas grande que puede haber en esa raíz es 1 + \frac{1}{4}. A lo que, resolviendo la raíz, la parte no entera del resultado de ésta es menor a \frac{1}{4}. Por lo tanto, entre mas grande es n, mas pequeño es el valor de la fracción dentro de la raíz, y por ende su raíz cuadrada sera aun mas pequeña que \frac{1}{4}.

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  38. Bueno mi solución no es mas que desarrollar la ecuación hasta llegar a un punto donde podemos afirmar que la suposición es cierta.

    Para no hacer la respuesta tan larga, pondré el desarrollo de la formula de forma consecutiva sin exponer explicaciones.

    \sqrt{4n^2+n} = \sqrt{n(4n+1)} = \sqrt{n} \sqrt{4n+1} = \sqrt{n} \sqrt{4(n+\frac{1}{4})} = \sqrt{n} \sqrt{4} \sqrt{n+\frac{1}{4}} = 2\sqrt{n} \sqrt{n+\frac{1}{4}} = 2\sqrt{n} \sqrt{n(1+\frac{1}{4n})} = 2\sqrt{n} \sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{4n}} = 2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}}

    2n es entero. Tenemos \sqrt{1+\frac{1}{4n}}, lo que sera raíz de 1 mas una fracción. El valor mas grande que puede tener esa fracción es cuando n=1. Entonces el valor mas grande que puede haber en esa raíz es 1 + \frac{1}{4}. A lo que, resolviendo la raíz, la parte no entera del resultado de ésta es menor a \frac{1}{4}. Por lo tanto, entre mas grande es n, mas pequeño es el valor de la fracción dentro de la raíz, y por ende su raíz cuadrada sera aun mas pequeña que \frac{1}{4}.

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  39. Me di cuenta de que mi solución no queda del todo demostrada. Olvidemos el ultimo párrafo.

    Tenemos 2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}}. 2n ya es entero. Podemos decir que \sqrt{1+\frac{1}{4n}}, siempre sera igual a 1+z, donde z es igual a cualquier numero no entero positivo dependiendo el valor de n. Esto porque, si \sqrt{4} = 2 y \sqrt{1} = 1; \sqrt{1+\frac{1}{4n}} esta entre estas dos raíces, y siempre sera igual a 1+z.

    Entonces sustituimos en la ecuación, 2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}} = 2n (1+z) = 2n(2nz). 2nz sera nuestra parte no entera. Entonces, 2nz tiene que ser menor a \frac{1}{4n}.
    Realizamos: 2nz < \frac{1}{4n}, z < \frac{1}{8n}. z siempre sera menor a \frac{1}{8n}, y \frac{1}{8n} < \frac{1}{4} siempre que n es entero positivo.

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  40. \triangle AMQ ~ \triangle YCQ

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  41. cos \tetha
    \cos \tetha

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  42. \textless
    >

    \textgreat

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  43. \color{red} \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}

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  44. \color{green} \text{Y tambien hay verde =D}

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  45. \color{orange} \text{de cuales hay?}
    \color{yellow} \text{de cuales hay?}
    \color{brown} \text{de cuales hay?}
    \color{gray} \text{de cuales hay?}
    \color{pink} \text{de cuales hay?}

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  46. quiero saber hacer esto =O

    \usepackage[all]{xy}\xymatrix@C+2em@R+2em{Q \ar@/_10pt/[ddr]_{q_1} \ar@/^10pt/[drr]^{q_2} \ar@{-->}[dr]|*+<3pt,3pt>{\scriptstyle u} & & \\& P \ar[d]_(0.4){p_1} \ar[r]^(0.4){p_2} & Y \ar[d]^{g}\\& X \ar[r]_{f} & Z}

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  47. \color{yellow} \text{Son los que estan en la diagonal que va del cuadrito superior derecho al inferior izquierdo}
    \color{green} \text{Esto lo voy a demostrar por induccion para una cuadricula de} 2^n \text{. En la de} 2^{n+1} \text{giramos los cuatro cuadros de} 2^n \text{.}
    \color{blue} \text{Ahora vemos que en los cuadritos de} 2^n \text{de arriba a la izquierda y abajo a la derecha, al terminar de realizar los pasos, por induccion, los que queden en la diagonal que pide el problema son los que originalmente estaban en la otra diagonal. Y al regresarnos al paso que ya habiamos hecho los de estas diagonales son la diagonal de la cuadricula de} 2^{n+1}
    \color{red} \text{La base de induccion es cuando} n=1
    \color{red} \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}
    \color{red} \text{Y vemos que la hipotesis en este caso si se cumple, por lo tanto para el caso especifico de} n=5 \text{que pide el problema tambien se cumple/}
    \color{magenta} \text{Entonces la respuesta es los numeros de la forma} 31k+1 \text{con} 1 \leq k \leq 32

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  48. \color{yellow} \text{Son los que estan en la diagonal que va del cuadrito superior derecho}
    \color{yellow} \text{al inferior izquierdo}
    \color{green} \text{Esto lo voy a demostrar por induccion para una cuadricula de } 2^n \text{.}
    $$\color{green} \text{En la de } 2^{n+1} \text{ giramos los cuatro cuadros de } 2^n \text{.}$
    $\color{blue} \text{Ahora vemos que en los cuadritos de} 2^n \text{de arriba a la izquierda y abajo a}$
    $\color{blue} \text{la derecha, al terminar de realizar los pasos, por induccion, los que}$
    $\color{blue} \text{queden en la diagonal que pide el problema son los que originalmente}$
    $\color{blue} \text{estaban en la otra diagonal. Y al regresarnos al paso que ya habiamos}$
    $\color{blue} \text{hecho los de estas diagonales son la diagonal de la cuadricula de } 2^{n+1}$
    $\color{red} \text{La base de induccion es cuando} n=1$
    $\color{red} \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}$
    $\color{red} \text{Y vemos que la hipotesis en este caso si se cumple, por lo tanto para}$
    $\color{red} \text{el caso especifico de } n=5 \text{ que pide el problema tambien se cumple}$
    $\color{magenta} \text{Entonces la respuesta es los numeros de la forma 31k+1 con } 1 \leq k \leq 32$

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  49. \color{yellow} \text{Son los que estan en la diagonal que va del cuadrito superior derecho}
    \color{yellow} \text{al inferior izquierdo}
    \color{green} \text{Esto lo voy a demostrar por induccion para una cuadricula de } 2^n \text{.}
    \color{green} \text{En la de } 2^{n+1} \text{ giramos los cuatro cuadros de } 2^n \text{.}
    \color{blue} \text{Ahora vemos que en los cuadritos de} 2^n \text{de arriba a la izquierda y abajo a}
    \color{blue} \text{la derecha, al terminar de realizar los pasos, por induccion, los que}
    \color{blue} \text{queden en la diagonal que pide el problema son los que originalmente}
    \color{blue} \text{estaban en la otra diagonal. Y al regresarnos al paso que ya habiamos}
    \color{blue} \text{hecho los de estas diagonales son la diagonal de la cuadricula de } 2^{n+1}
    \color{red} \text{La base de induccion es cuando} n=1
    \color{red} \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}
    \color{red} \text{Y vemos que la hipotesis en este caso si se cumple, por lo tanto para}
    \color{red} \text{el caso especifico de } n=5 \text{ que pide el problema tambien se cumple}
    \color{magenta} \text{Entonces la respuesta es los numeros de la forma 31k+1 con } 1 \leq k \leq 32

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  50. \begin{pmatrix}O&X&X&O\\X&O&O&X\\X&O&O&X\\O&X&X&O\end{pmatrix}

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  51. \begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&X&0\\0&X&X&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&X&0\\1&X&X&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}
    \rightarrow \begin{pmatrix}1&1&0&1\\0&0&X&0\\1&X&X&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}0&1&0&1\\1&0&X&0\\0&X&X&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}
    \rightarrow \begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&X&0\\0&X&X&0\\1&0&0&0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&X&0\\0&X&X&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}

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  52. \binom{3n+2}{2}-3[\binom{1}{1}+\binom{2}{1}+ \dots +\binom{n}{1}]
    = \frac{(3n+2)(3n+1)}{2} -3[1+2+ \dots +n]
    =\frac{(3n+2)(3n+1)}{2}-\frac{3n(n+1)}{2}
    =\frac{(9n^2+9n+2-3n^2-3n}{2}
    =\frac{(6n^2+6n+2}{2}=3n^2+3n+1

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  53. \Leftrightarrow
    \iff

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  54. \backslashsqrt[3]{2}

    \cbrt{2}

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  55. \documentclass[11pt]{article} \usepackage{amsmath} \pdfpagewidth 8.5in \pdfpageheight 11in \newcounter{prob_num} \setcounter{prob_num}{1} \newcommand{\prob}[5]{\bigskip \bigskip\arabic{prob_num}.\stepcounter{prob_num} #1 \par\nopagebreak[4]\medskip A.\ #2\hfill B.\ #3\hfill C.\ #4\hfill D.\ #5\hfill E.\ NOTA} \begin{document} \prob{What is $2+2$?}{4}{5}{6}{7} \prob{What is $\sqrt{100}$?}{81}{10}{9}{1} \prob{Evaluate $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$.} {$\displaystyle\frac{1}{e}$} {$\displaystyle\frac{2}{\pi}$} {$\displaystyle\frac{\pi^3}{8}$} {$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$} \end{document}

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  56. \textgreat
    \textgreater

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  57. S(\frac{a_k}{p})= S(\frac{10^{p-2}(10^{k(p-1)}-1) + \frac{10^{p-1}}{9}}{p}

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  58. S(\frac{a_k}{p}) = S(\frac{10^{p-2}(10^{k(p-1)}-1)}{p}+\frac{10^{p-1}-1}{9p})
    =S(\frac{10^{p-2}(10^{k(p-1)}-1)}{p})+S(\frac{10^{p-1}-1}{9p})-9c

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  59. S(\frac{(10^{k(p-1)}-1)}{p})

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  60. \sum ^{k-1}_{i=0} (10^{p-1})^i

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  61. \frac{10^{k(p-1)}-1}{p}=(\frac{10^{p-1}-1}{p})(\sum ^{k-1}_{i=0} (10^{p-1})^i)

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  62. h(n)=\begin{cases}0,\qquad\text{if }n\text{ is odd,}\\ }1,\qquad\text{if }n\text{ is even.}\end{cases}

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  63. h(n)=\begin{cases}\qquad0,\qquad\text{if }n\text{ is odd,}\\ }1,\qquad\text{if }n\text{ is even.}\end{cases}

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  64. \$\$h(n) = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si } n \text{ es impar,}\\ 1 & \text{si } n \text{ es par} \end{array} \right. \$\$

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  65. h(n) = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si } n \text{ es impar,}\\ 1 & \text{si } n \text{ es par} \end{array} \right.

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  66. \boxed{h(n) = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si } n \text{ es impar,}\\ 1 & \text{si } n \text{ es par.} \end{array} \right.}

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  67. b) \boxed{h(n) = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si } n \text{ es impar,}\\ 1 & \text{si } n \text{ es par.} \end{array} \right.}

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  68. h(m) es de cuantas maneras se puede dar este cambio con un acomodo de m\times 2 asientos.
    Con casos pequeños vemos que h(1)=1, h(2)=4,
    h(3)=9.
    Vemos como se pueden mover las dos personas en la m-ésima fila.
    Sea a_i la persona en la primera columna, en la fila i, y sea b_i la persona en la segunda columna, en la fila i.
    Si a_m y b_m se sientan uno en el lugar del otro, entonces los demas se pueden reacomodar de h_{m-1}.
    Ahora, si se cambian a_{m-1} con a_m, y b_{m-1} con b_m, entonces los demas se pueden acomodar de h(m-2) maneras.

    En un tercer caso, si a_{m-1} se sienta en el lugar de a_m, a_m en el lugar de b_m, y b_m en el lugar de b_{m-1}, a partir de ahi, si los de la segunda columna se siguen pasando al lugar de enfrente, hasta que b_k se pasa a a_k, entonces todas las a_j con j=\{k,(k+1),\dots ,m-2\} solo van a tener una opcion, que es sentarse en el lugar de a_{j+1}, y los demas tienen h(k-1) maneras de acomodarse. Asi en este caso hay \sum_{i=1}^{m-2}{h(i)} Analogamente si en vez de moverse en sentido 'contrario a las manecillas del reloj', se mueven en sentido de las manecillas del reloj. Entonces tenemos que: h(m)=h(m-1)+h(m-2)+2\sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}$

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  69. h(m) es de cuantas maneras se puede dar este cambio con un acomodo de m\times 2 asientos.
    Con casos pequeños vemos que h(1)=1, h(2)=4,
    h(3)=9.
    Vemos como se pueden mover las dos personas en la m-ésima fila.
    Sea a_i la persona en la primera columna, en la fila i, y sea b_i la persona en la segunda columna, en la fila i.
    Si a_m y b_m se sientan uno en el lugar del otro, entonces los demas se pueden reacomodar de h_{m-1}.
    Ahora, si se cambian a_{m-1} con a_m, y b_{m-1} con b_m, entonces los demas se pueden acomodar de h(m-2) maneras.

    En un tercer caso, si a_{m-1} se sienta en el lugar de a_m, a_m en el lugar de b_m, y b_m en el lugar de b_{m-1}, a partir de ahi, si los de la segunda columna se siguen pasando al lugar de enfrente, hasta que b_k se pasa a a_k, entonces todas las a_j con j=\{k,(k+1),\dots ,m-2\} solo van a tener una opcion, que es sentarse en el lugar de a_{j+1}, y los demas tienen h(k-1) maneras de acomodarse.
    Asi en este caso hay \sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}
    Analogamente si en vez de moverse en sentido 'contrario a las manecillas del reloj', se mueven en sentido de las manecillas del reloj. Entonces tenemos que:
    h(m)=h(m-1)+h(m-2)+2\sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}

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  70. Ahora tomamos la sucesión de Fibonacci, con f_0=f_1=1, f_2=2, etc.
    Veamos que h(m)=(f_m)^2
    Los casos base ya estan en el comentario anterior.

    (f_m)^2=(f_{m-1}+f{m-2})^2=(f_{m-1})^2+(f{m-2})^2 +2f_{m-1}f_{m-2}
    =h(m-1)+h(m-2)+2f_{m-1}f_{m-2}

    Entonces para que se cumpla que h(m)=(f_m)^2, necesitamos que
    f_{m-1}f_{m-2}=\sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}= \sum_{i=1}^{m-2}{(f_i)^2}

    f_{m-1}f_{m-2}= (f_{m-2}+f_{m-3})f_{m-2}=(f_{m-2})^2+f_{m-2}f_{m-3}
    Y con otra induccion es facil ver que la igualdad que buscabamos es cierta.

    \boxed{h(m)=(f_m)^2

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  71. Ahora tomamos la sucesión de Fibonacci, con f_0=f_1=1, f_2=2, etc.
    Veamos que h(m)=(f_m)^2
    Los casos base ya estan en el comentario anterior.

    (f_m)^2=(f_{m-1}+f{m-2})^2=(f_{m-1})^2+(f{m-2})^2 +2f_{m-1}f_{m-2}
    =h(m-1)+h(m-2)+2f_{m-1}f_{m-2}

    Entonces para que se cumpla que h(m)=(f_m)^2, necesitamos que
    f_{m-1}f_{m-2}=\sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}= \sum_{i=1}^{m-2}{(f_i)^2}

    f_{m-1}f_{m-2}= (f_{m-2}+f_{m-3})f_{m-2}=(f_{m-2})^2+f_{m-2}f_{m-3}
    Y con otra induccion es facil ver que la igualdad que buscabamos es cierta.

    \boxed{h(m)=(f_m)^2}

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  72. Ahora tomamos la sucesión de Fibonacci, con f_0=f_1=1, f_2=2, etc.
    Veamos que h(m)=(f_m)^2
    Los casos base ya estan en el comentario anterior.

    (f_m)^2=(f_{m-1}+f{m-2})^2=(f_{m-1})^2+(f{m-2})^2
    +2f_{m-1}f_{m-2}=h(m-1)+h(m-2)+2f_{m-1}f_{m-2}

    Entonces para que se cumpla que h(m)=(f_m)^2, necesitamos que
    f_{m-1}f_{m-2}=\sum_{i=1}^{m-2}{h(i)}= \sum_{i=1}^{m-2}{(f_i)^2}

    f_{m-1}f_{m-2}= (f_{m-2}+f_{m-3})f_{m-2}=(f_{m-2})^2+f_{m-2}f_{m-3}
    Y con otra induccion es facil ver que la igualdad que buscabamos es cierta.

    \boxed{h(m)=(f_m)^2}

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  73. \lineAB
    \lineAB
    \angleDCE

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  74. \line AB
    \triangle ABC
    \angle ABC
    \lineAB
    \triangleABC
    \angleABC
    \mathrmAB

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  75. \mathrm{AB}
    \mathrm {AB}
    \mathrm AB

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  76. \overline{AB}
    \overlineAB

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  77. \triangle CEA \sem \triangle CEA

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  78. Podemos ver que el \triangle CAB ~ \triangle CEA , por Angulo-Angulo.
    Tenemos: \frac{CA}{CE} = \frac{AB}{EA} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow \frac{CA}{1} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow CA^2=BC

    \Rightarrow \boxed{CA=\sqrt{BC}}

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  79. \alpha
    \beta
    \tetha
    \gamma
    \phi
    \delta

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  80. Respuestas
    1. Acaso funcionan los colores?
      {\color{red}rojo}, {\color{white}blanco}

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  83. 3 \times 2^m=(n+1) \times (n-1)

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