Solucion al problema propuesto por Rogelio

Siguiendo la idea del Yogui, tenemos: (x^2+y^2+z^2)(x+y+z)=x^3+y^3+z^3+x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2 entonces x^3+y^3+z^3-3xyz=(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)-x^2y-x^2z-xy^2-y^2z-xz^2-yz^2-3xyz =(x^2+y^2+z^2)(x+y+z) -x^2y-xy^2-xyz -x^2z-xz^2-xyz -y^2z-yz^2-xyz = (x^2+y^2+z^2)(x+y+z) -xy(x+y+z) -xz(x+y+z) -yz(x+y+x) =(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)(x+y+z)=1 Sabemos que (x-y)^2>=0, (x-z)^2>=0, (y-z)^2>=0, si sumamos las 3 desigualdades y dividimos entre 2 tenemos que x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz>=0 eso implicaria que x+y+z>=0, de hecho mayor que cero ambas expresiones porque su producto es 1.

(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)(x+y+z)=1
Si x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=1 (a), x+y+z=1 si elevamos al al cuadrado tenemos que x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=1 (b), multiplicamos (a) por 2, sumamos (b) y dividimos entre 3, tenemos que x^2+y^2+z^2=1, que este seria el valor minimo.

(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)(x+y+z)=1
Si x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz>1 implica 1>x+y+z>0, sea x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz= m>1 (c), entonces 1>x+y+z=1/m (d), si elevamos (d) al cuadrado y sumamos 2*(c) y dividimos entre 3, tenemos que x^2+y^2+z^2 = (2m^3+1)/(3m^2) vamos a demostrar que esto es mayor que 1, entonces seria lo mismo que 2m^3+1>3m^2, que 2m^3-3m^2+1>0, que 2m^3-2m^2-m^2+1=2m^2(m-1)-(m+1)(m-1)=(m-1)(2m^2-m-1)>0 por demostrar, pero como tenemos que m>1 entonces m-1>0, m> 1 y m^2>m, entonces 2m^2>2m>m+1, por lo que 2m^2-m-1>0, por lo cual (2m^3+1)/(3m^2)>1, porque todos lo pasos son reversibles.

(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)(x+y+z)=1
Si x+y+z>1 , implica 1>x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz>0, sea x+y+z=n >1 (e), entonces 1>x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=1/n>0 (f), si elevamos (e) al cuadrado y sumamos 2*(f) y dividimos entre 3, tenemos que x^2+y^2+z^2 = (n^3+2)/(3n) vamos a demostrar que esto es mayor que 1, entonces seria lo mismos que n^3+2>3n, que n^3-3n+2=n^3-n-2n+2=n(n^2-1)-2(n-1)=n(n-1)(n+1)-2(n-1)=(n-1)(n(n+1)-2)=(n-1)(n^2+n-2)>0, sabemos que n>1 entonces n-1>0, n>1, entonces n^2>n>1, sumamos las ultimas dos n^2+n>2 entonces n^2+n-2>0, por lo cual (n^3+2)/(3n)>1, porque todos los pasos son reversible .

Por lo cual el minimo es 1, el minimo se da si x=1, y=z=0, esto satisface x+y+z=1, x^2+y^2+z^2=1, xy+xz+yz=0, x^3+y^3+z^3-3xyz=1.

Quiero pedir una disculpa porque lo anterior que publique estaba mal por unas sumas que no hize bien, espero que ahora si este bien.