Otra solucion al problema del minimo.

No veo muy seguido el blog asi que esto es algo que se escribio desde Dicembre. Pero me llamo la atención el problema y decidi hacer una solución distinta. Es algo que no se usa mucho en la olimpiada pero ayuda a solucionar este tipo de problemas El Calculo. No voy a presentar todas las ecuaciones por que que hueva.

Si le llamamos g(x,y)=x^3+y^3+z^3-3xyz-1 ; f(x,y)=x^2+y^2^z^2 entonces por el método de Lagrange tenemos las derivadas parciales de f son iguales a las de g por una constante. Bueno entonces las equaciones que obtenemos son

2x=3c(x^3-yz)

2y=3c(y^3-xz)

2z=3c(z^3-xy)

Donde “c” es una constante y aparte tenemos la ecuacion g(x,y)=0 .

Entonces multiplicando las ecuaciones por x la primera por y la segunda y por z la tercera y sumándolas obtenemos 2(x^2+y^2+z^2)=3c (g(x,y)+1)=3c bueno también sumado la 3 ecuaciones y multiplicando por (x+y+z) de los dos lados nos da 2(x+y+z)^2=3c lo que significa que (x^2+y^2+z^2)= (x+y+z)^2

La ultima igualdad nos da que xy+yz+zx=0 y ya con toda esta infromacion es fácil darse cuenta que

(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)=1 y después obtén que (x^2+y^2+z^2)^3=1 por lo que (x^2+y^2+z^2) =1 por que no puede ser -1 dado que es positivo. Para ver que no es un máximo date cuenta que x=y=(1/2)^(1/3) z=0 es una solución de g pero te da mayor a 1 en f.

Espero la solución este clara saludos a todos y besos a todas mis fans.

Carlos