1. Sean $m,n$ enteros positivos con $n\leq m$. Demostrar que
$$2^n n!\leq \frac{(m+n)!}{(m-n)!}\leq (m^2+m)^n$$.
2. Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, mostrar que
$$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3+3abc}{2}}\geq max \{a,b,c\}$$
3. El Consejo Nacional del Matrimonio desea invitar a $n$ parejas (hombre y mujer) a formar $17$ grupos de discusión bajo las siguientes condiciones:
i) Todos los miembros de un grupo deben ser del mismo sexo,
ii) La diferencia del tamaño de cualesquiera dos grupos es $0$ o $1$,
iii) Todos los grupos tienen al menos un miembro,
iv) Cada persona debe pertenecer a uno y sólo un grupo.
Encontrar todos los valores de $n$, $n\leq 1996$, para los que esto es posible.
sábado, 9 de noviembre de 2013
sábado, 2 de noviembre de 2013
Problemas del día. (3 de noviembre)
1. Alrededor de un círculo se colocan 5 unos y 4 ceros en cualquier orden. Luego, entre cualesquiera dos dígitos consecutivos iguales se coloca un cero y entre cualesquiera dos dígitos consecutivos diferentes se coloca un uno, y después se borran los dígitos originales. ¿Es posible llegar a tener 9 ceros repitiendo el proceso?
2. Un pirata tiene 2009 cofres cerrados y cada uno contiene alguna cantidad de oro y alguna cantidad de plata. Él quiere al menos la mitad del oro y al menos la mitad de la plata. Dice un número k y se abren todos los cofres. Luego escoge k cofres. ¿Cuál es el menor valor de k que puede decir para asegurarlo?
3. Un tipo está tirando canastas. La primera acierta, la segunda falla. De la tercera en adelante, la probabilidad de que acierte es igual a sus aciertos entre el total de intentos anteriores. Encuentra la probabilidad de que acierte 50 de 100 tiros.
2. Un pirata tiene 2009 cofres cerrados y cada uno contiene alguna cantidad de oro y alguna cantidad de plata. Él quiere al menos la mitad del oro y al menos la mitad de la plata. Dice un número k y se abren todos los cofres. Luego escoge k cofres. ¿Cuál es el menor valor de k que puede decir para asegurarlo?
3. Un tipo está tirando canastas. La primera acierta, la segunda falla. De la tercera en adelante, la probabilidad de que acierte es igual a sus aciertos entre el total de intentos anteriores. Encuentra la probabilidad de que acierte 50 de 100 tiros.
domingo, 27 de octubre de 2013
Problemas del día. (27 de octubre)
Son ejercicios y problemas de parte entera (no sé si sirva mucho para el nacional...). Lo saqué de un archivo de Leonardo Martínez:
"En problemas de olimpiada frecuentemente se encuentran las funciones $\lfloor x \rfloor$ y $\lceil x \rceil$. La primera representa al mayor entero menor o igual a $x$ y la segunda al menor entero mayor o igual que $x$. Las siguientes sugerencias a veces resultan útiles para tratar a los problemas que involucran a estas funciones.
Ejercicios:
1. Muestra que $\lfloor x\rfloor$ y $\lceil x\rceil$ son funciones crecientes, es decir, que si $x\geq y$, entonces $\lfloor x\rfloor \geq \lfloor y\rfloor$ y $\lceil x\rceil \geq \lceil y\rceil$
2. Muestra que el residuo que deja un entero positivo $n$ al dividirse entre un entero positivo $k$ es $n-k\lfloor \frac{n}{k} \rfloor$.
3. Demuestra que para cualesquiera dos n umeros reales $x$ y $y$ se cumple que $\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor\leq\lfloor x+y\rfloor$.
4. Muestra que $\lfloor -x\rfloor= -\lfloor x\rfloor -1$ si $x$ no es entero y $\lfloor -x\rfloor=-x$ si $x$ es entero. Enuncia y muestra identidades similares para $\lceil -x\rceil$.
5. Supongamos que $\lfloor x\rfloor + \lceil x\rceil = 2x$. Muestra que $x$ es entero o la mitad de un entero.
6. Sean $k$ y $n$ enteros con $n$ entre $k^2$ y $k^2 + 2k$. ¿Cu al es el valor de $\sqrt{n}$?
7. ¿Cómo se comportan $\lfloor \frac{1}{x}\rfloor$ y $\lceil \frac{1}{x}\rceil$?
8. Muestra que para un real $x$ y un entero positivo $n$ se tiene que $\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor}{n}\rfloor=\lfloor \frac{x}{n}\rfloor$.
9. Encuentra el valor de las siguientes sumas:
10. Sean $a < b$ y $n$ enteros positivos que no tienen divisores en com ún salvo el $1$. Muestra que entre $1$ y $n$ hay $\lfloor \frac{n}{a}\rfloor+\lfloor \frac{n}{b}\rfloor-\lfloor \frac{n}{ab}\rfloor$ m últiplos de $a$ o de $b$."
Problemas:
1. Sea $n$ un entero positivo. Muestra que
$$\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+3} \rfloor$$
2. Sea $S(j)$ la suma de los divisores de $j$. Muestra que
$$S(1)+S(2)+...+S(n)=1\lfloor \frac{n}{1}\rfloor+2\lfloor \frac{n}{2}\rfloor+...+n\lfloor \frac{n}{n}\rfloor$$
3. Encontrar el residuo de dividir $\lfloor (2+\sqrt{3})^{20}\rfloor$ entre 3.
"En problemas de olimpiada frecuentemente se encuentran las funciones $\lfloor x \rfloor$ y $\lceil x \rceil$. La primera representa al mayor entero menor o igual a $x$ y la segunda al menor entero mayor o igual que $x$. Las siguientes sugerencias a veces resultan útiles para tratar a los problemas que involucran a estas funciones.
- Utilizar la desigualdad $x -1 < \lfloor x \rfloor\leq x \leq \lceil x \rceil < x + 1$.
- Para mostrar $\lfloor x \rfloor=n$, es su ciente y necesario que $n \leq x < n + 1$.
- Para mostrar $\lceil x \rceil=n$, es su ciente y necesario que $n - 1 < x \leq n$.
- Si $n$ y $k$ son enteros positivos y con el algoritmo de la divisi on de Euclides $n = kq+r$, entonces $\lfloor \frac {n}{k} \rfloor=q$
- Dividir en casos seg un en qué momentos $\lfloor x \rfloor$ y $\lceil x \rceil$ dan brincos.
- Considerar la parte fraccionaria de $x$: ${x} = x - \lfloor x \rfloor$. Siempre se tiene ${x}\in [0; 1)$.
- Perturbar ligeramente a $x$ de modo que $\lfloor x \rfloor\approx \lfloor x+\epsilon \rfloor$, pero que $\lfloor x+\epsilon \rfloor$ sea m as manejable algebr aicamente.
Ejercicios:
1. Muestra que $\lfloor x\rfloor$ y $\lceil x\rceil$ son funciones crecientes, es decir, que si $x\geq y$, entonces $\lfloor x\rfloor \geq \lfloor y\rfloor$ y $\lceil x\rceil \geq \lceil y\rceil$
2. Muestra que el residuo que deja un entero positivo $n$ al dividirse entre un entero positivo $k$ es $n-k\lfloor \frac{n}{k} \rfloor$.
3. Demuestra que para cualesquiera dos n umeros reales $x$ y $y$ se cumple que $\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor\leq\lfloor x+y\rfloor$.
4. Muestra que $\lfloor -x\rfloor= -\lfloor x\rfloor -1$ si $x$ no es entero y $\lfloor -x\rfloor=-x$ si $x$ es entero. Enuncia y muestra identidades similares para $\lceil -x\rceil$.
5. Supongamos que $\lfloor x\rfloor + \lceil x\rceil = 2x$. Muestra que $x$ es entero o la mitad de un entero.
6. Sean $k$ y $n$ enteros con $n$ entre $k^2$ y $k^2 + 2k$. ¿Cu al es el valor de $\sqrt{n}$?
7. ¿Cómo se comportan $\lfloor \frac{1}{x}\rfloor$ y $\lceil \frac{1}{x}\rceil$?
8. Muestra que para un real $x$ y un entero positivo $n$ se tiene que $\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor}{n}\rfloor=\lfloor \frac{x}{n}\rfloor$.
9. Encuentra el valor de las siguientes sumas:
- $\sum_{j=0}^{100}\lfloor \frac{j}{10}\rfloor$
- $\sum_{j=0}^{100} \lfloor \sqrt{j}\rfloor$
- $\sum_{j=0}^{100}\lfloor \frac{j}{10}\rfloor+\lceil \frac{j}{10} \rceil$
10. Sean $a < b$ y $n$ enteros positivos que no tienen divisores en com ún salvo el $1$. Muestra que entre $1$ y $n$ hay $\lfloor \frac{n}{a}\rfloor+\lfloor \frac{n}{b}\rfloor-\lfloor \frac{n}{ab}\rfloor$ m últiplos de $a$ o de $b$."
Problemas:
1. Sea $n$ un entero positivo. Muestra que
$$\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+3} \rfloor$$
2. Sea $S(j)$ la suma de los divisores de $j$. Muestra que
$$S(1)+S(2)+...+S(n)=1\lfloor \frac{n}{1}\rfloor+2\lfloor \frac{n}{2}\rfloor+...+n\lfloor \frac{n}{n}\rfloor$$
3. Encontrar el residuo de dividir $\lfloor (2+\sqrt{3})^{20}\rfloor$ entre 3.
martes, 22 de octubre de 2013
Problemas del día (21 de Octubre)
Perdón por la tardanza... aquí van los problemas:
1.- Decimos que un número natural $n$ es "charrua" sí satisface simultáneamente las siguientes condiciones:
I) Cada dígito de $n$ es mayor a $1$
II) Para cada 4 dígitos de $n$ su producto es un divisor de $n$
Demuestra que para cada número natural $k$ existe un número "charrua" con más de $k$ dígitos.
2.- El incírculo del triángulo $\triangle{ABC}$ tiene centro en $O$ y es tangente a los lados $BC,AC,AB$ en los puntos $X,Y,Z$, respectivamente. Las líneas $BO$ y $CO$ intersectan la línea $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente.
Demuestra que sí $XP=XQ$ entonces $\triangle{ABC}$ es isósceles.
1.- Decimos que un número natural $n$ es "charrua" sí satisface simultáneamente las siguientes condiciones:
I) Cada dígito de $n$ es mayor a $1$
II) Para cada 4 dígitos de $n$ su producto es un divisor de $n$
Demuestra que para cada número natural $k$ existe un número "charrua" con más de $k$ dígitos.
2.- El incírculo del triángulo $\triangle{ABC}$ tiene centro en $O$ y es tangente a los lados $BC,AC,AB$ en los puntos $X,Y,Z$, respectivamente. Las líneas $BO$ y $CO$ intersectan la línea $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente.
Demuestra que sí $XP=XQ$ entonces $\triangle{ABC}$ es isósceles.
domingo, 20 de octubre de 2013
Problemas del día. (20 de octubre)
1. Calcular $S= \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1-3x_i+3x_i^2}$ para $x_i=\frac{i}{101}$
2. Hay $2^n$ soldados en una fila, en donde $n$ es un entero positivo. Los soldados se reacomodan en otra fila de la siguiente manera: Los soldados que estén en posición impar se van al frente de la fila, conservando su lugar entre ellos; los soldados en posición impar se van al final de la fila, respetando los lugares entre ellos. Por ejemplo, si hay ocho soldados formados formados $a,b,c,d,e,f,g,h$, después del reacomodo obtenemos la fila $a,c,e,g,b,d,f,h$. Demuestra que después de $n$ reacomodos los soldados estarán formados como al inicio.
2. Hay $2^n$ soldados en una fila, en donde $n$ es un entero positivo. Los soldados se reacomodan en otra fila de la siguiente manera: Los soldados que estén en posición impar se van al frente de la fila, conservando su lugar entre ellos; los soldados en posición impar se van al final de la fila, respetando los lugares entre ellos. Por ejemplo, si hay ocho soldados formados formados $a,b,c,d,e,f,g,h$, después del reacomodo obtenemos la fila $a,c,e,g,b,d,f,h$. Demuestra que después de $n$ reacomodos los soldados estarán formados como al inicio.
jueves, 17 de octubre de 2013
Problemas del dia
1-Usando solamente regla encuentre los puntos medios de dos segmentos paralelos dados.
2- Sean $a,b,c$ numeros Reales positivos tales que $abc=8$ muestre que
$\frac{a-2){a+1}+\frac{b-2}{b+1}+\frac{c-2}{c+1}\leq{0}$
b
3- Sea $ABC$ un triangulo acutangulo tal que $K$ es un punto sobre el arco $BC$ de su circuncirculo y $L$ es el punto de la interseccion de las cuerdas $AK$ y $BC$. Sean $M$ y $N$ puntos sobre los lados $AB$ y $AC$ respectivamente de manera que $LM$ es perpendicular a $AB$ y $LN$ es perpendicular a $AC$. Demuestra que si el area del triangulo $ABC$ es igual al area del cuadrilatero $AMNK$ entonces $AK$ biseca al angulo en $A$ o $AK$ es diametro del crcuncirculo del triangulo $ABC$
1-Usando solamente regla encuentre los puntos medios de dos segmentos paralelos dados.
2- Sean $a,b,c$ numeros Reales positivos tales que $abc=8$ muestre que
$\frac{a-2){a+1}+\frac{b-2}{b+1}+\frac{c-2}{c+1}\leq{0}$
b
3- Sea $ABC$ un triangulo acutangulo tal que $K$ es un punto sobre el arco $BC$ de su circuncirculo y $L$ es el punto de la interseccion de las cuerdas $AK$ y $BC$. Sean $M$ y $N$ puntos sobre los lados $AB$ y $AC$ respectivamente de manera que $LM$ es perpendicular a $AB$ y $LN$ es perpendicular a $AC$. Demuestra que si el area del triangulo $ABC$ es igual al area del cuadrilatero $AMNK$ entonces $AK$ biseca al angulo en $A$ o $AK$ es diametro del crcuncirculo del triangulo $ABC$
martes, 15 de octubre de 2013
Problema del dia
En la pizarra está escrito el número 2. Macaría y Polino juegan alternadamente, comenzando por Macaria. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene de aplicar exactamente una de las siguiente operaciones: multiplicarlo por 2 o multiplicarlo por 3 o sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a 2011 gana. Decidir quién tiene una estrategia ganadora y describirla.
Encontrar todos los números primos p para los cuales el número p2+11 tiene exactamente 6 divisores positivos (el 1 y el número incluidos).
lunes, 14 de octubre de 2013
Problemas del día (14 de Octubre)
1. Sean $a,b,c$ números positivos que satisfacen $abc=1$, muestre que:
$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq{1}$
Una de las soluciones de este problema tiene una idea alternativa para el problema de desigualdades del 7 de Octubre
2. Considera la secuencia $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ definida por: $a_{1}=1, a_{2k}=1+a_{k}$, y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$ para $k\geq{1}$. Demuestra que todo número racional positivo aparece en la secuencia $\{a_n\}$ exactamente una vez.
$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq{1}$
Una de las soluciones de este problema tiene una idea alternativa para el problema de desigualdades del 7 de Octubre
2. Considera la secuencia $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ definida por: $a_{1}=1, a_{2k}=1+a_{k}$, y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$ para $k\geq{1}$. Demuestra que todo número racional positivo aparece en la secuencia $\{a_n\}$ exactamente una vez.
domingo, 13 de octubre de 2013
Problemas del día. (13 de octubre)
1. Considera la secuencia $a_1,a_2,...$ definida por
$$a_n=2^n+3^n+6^n-1$$
Determina todos los enteros positivos que son primos relativos a cada término de la secuencia.
2. Sean $x,y,z$ reales positivos, cuya suma es $2013$. Determina el máximo valor de
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)}{x^4+y^4+z^4}$$
$$a_n=2^n+3^n+6^n-1$$
Determina todos los enteros positivos que son primos relativos a cada término de la secuencia.
2. Sean $x,y,z$ reales positivos, cuya suma es $2013$. Determina el máximo valor de
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)}{x^4+y^4+z^4}$$
miércoles, 9 de octubre de 2013
Problema del dia.( 9 de octubre)
Sean α y β dos circunferencias tales que el centro O de β está sobre α . Sean C y D los dos puntos de intersección de las circunferencias. Se toman un punto A sobre α y un punto B sobre β tales que AC es tangente a β en C y BC es tangente a α en el mismo punto C . El segmento AB corta de nuevo a β en E y ese mismo segmento corta de nuevo a α en F . La recta CE vuelve a cortar a α en G y la recta CF corta a la recta GD en H . Prueba que el punto de intersección de GO y EH es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo DEF .
lunes, 7 de octubre de 2013
Problemas del día (7 de Octubre)
1.- Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que
$\frac{a^{3}}{a^{3}+2}+\frac{b^{3}}{b^{3}+2}+\frac{c^{3}}{c^{3}+2}\geq{1}$ y que $\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}\leq{1}$
2.- Determina todas las parejas $(a,b)$ de reales positivos tales que $b<a$ y que satisfacen
$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}=134$ y $a\sqrt{b}+b\sqrt{a}=126$.
$\frac{a^{3}}{a^{3}+2}+\frac{b^{3}}{b^{3}+2}+\frac{c^{3}}{c^{3}+2}\geq{1}$ y que $\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}\leq{1}$
2.- Determina todas las parejas $(a,b)$ de reales positivos tales que $b<a$ y que satisfacen
$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}=134$ y $a\sqrt{b}+b\sqrt{a}=126$.
sábado, 5 de octubre de 2013
Problemas del día. (06 de octubre)
1. a) ¿Existen subconjuntos de dos elementos $A_1,A_2,A_3,...$ de los naturales tales que cada natural esté contenido en exactamente uno de ellos y que la suma de los elementos de $A_n$ sea $1391+n$ para todo entero $n\geq 1$?
b) ¿Existen subconjuntos de dos elementos $A_1,A_2,A_3,...$ de los naturales tales que cada natural esté contenido en exactamente uno de ellos y que la suma de los elementos de $A_n$ sea $1391+n^2$ para todo entero $n\geq 1$?
2. Una escalera eléctrica tiene la propiedad de que si $m$ personas están en ella, entonces su velocidad es $m^{-\alpha}$ donde $\alpha$ es una constante positiva. Supongamos que $n$ personas quieren subir utilizando la escalera. Si $l$ es la longitud de la escalera, ¿cuál es la menor cantidad de tiempo necesario para que las $n$ personas suban?
b) ¿Existen subconjuntos de dos elementos $A_1,A_2,A_3,...$ de los naturales tales que cada natural esté contenido en exactamente uno de ellos y que la suma de los elementos de $A_n$ sea $1391+n^2$ para todo entero $n\geq 1$?
2. Una escalera eléctrica tiene la propiedad de que si $m$ personas están en ella, entonces su velocidad es $m^{-\alpha}$ donde $\alpha$ es una constante positiva. Supongamos que $n$ personas quieren subir utilizando la escalera. Si $l$ es la longitud de la escalera, ¿cuál es la menor cantidad de tiempo necesario para que las $n$ personas suban?
viernes, 4 de octubre de 2013
Problema del día
Sea $ABC$ un triángulo con $AB<BC$. Sea $D$ el punto medio de $AC$
y $E$ la intersección de la mediatriz de $AC$ con el lado $BC$. Por $E$
se traza una paralela a $AC$ que corta a $AB$ en $F$. Sea $G$ el punto
de intersección de $EF$ y la mediariz de $AB$. Demuestra que
$tan(\angle EGD)$ $=$ $\frac{2|ABC|}{BC^2}$
$tan(\angle EGD)$ $=$ $\frac{2|ABC|}{BC^2}$
jueves, 3 de octubre de 2013
Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que 1900→82→68→100→1 . Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.
SeaABC un triángulo tal que AB>AC>BC . Sea D un punto sobre el lado AB de tal manera que CD=BC , y sea M el punto medio del lado AC . Muestra que BD=AC si y sólo si ∠BAC=2∠ABM.
Sea
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