Sea
jueves, 3 de octubre de 2013
Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que 1900→82→68→100→1 . Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.
SeaABC un triángulo tal que AB>AC>BC . Sea D un punto sobre el lado AB de tal manera que CD=BC , y sea M el punto medio del lado AC . Muestra que BD=AC si y sólo si ∠BAC=2∠ABM.
Sea
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ResponderBorrarPrimero encontraré 2 números consecutivos que sean suertudos. Digamos que una combinación de dígitos $(a_{1},a_{2},...,a_{k})$ es suertuda sí $a_{1]^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{k}^{2}$ nos da un número suertudo.
ResponderBorrarSi tuviésemos 2 números consecutivos, uno que termina en $x$ y otro que termina en $x+1$ (para $x+1\leq{9}$) entonces ambos son suertudos si digamos que $S$ es la suma de los cuadrados de los dígitos del menor número, pasa que $S, S+((x+1)^{2}-x^{2})$ son suertudos (pues sí eventualmente llegamos a 1 entonces esos números también dan números suertudos).
$(x+1)^{2}-x^{2}=2x+1$ que es un impar
Sabemos que $(9,1),(8,6)$ son combinaciones suertudas pues $(68,19)$ son suertudos.-
$68\rightarrow{100}\rightarrow{1}$
$91\rightarrow{82}\rightarrow{68}\rightarrow{100}\rightarrow{1}$
Sí encontramos un número tal que $S=86, S+((x+1)^{2}-x^{2})=91$ (donde $S$ es la suma de dígitos del número y $x$ su último dígito menor a 9), entonces queremos que $(x+1)^{2}-x^{2}=91-86=5\Rightarrow{2x+1=5}\Rightarrow{x=2}$ entonces sea éste número $N=\overline{a_{1}a_{2}...a_{n}2}$ suertudo con $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}+4=86$ y vemos que el número $N+1=\overline{a_{1}a_{2}...a_{n}3}$ será suertudo pues $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}+9=91$.
Queremos que $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}+4=86\Rightarrow a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}=82$ y vemos que le número $\boxed{912}$ cumple pues $9^{2}+1^{2}+2^{2}=86$
Entonces a partir de la pareja $(912,913)$ vemos que todas las parejas de la forma $(\overline{91\underbrace{00...0}2},\overline{91\underbrace{00...0}3}$ (la cantidad de $0s$ en las llaves de ambos números es la misma) cumplen en ser consecutivos y que su suma siempre será $86$ y $91$ respectivamente, entonces serán suertudos, como la cantidad de $0s$ es cualquier natural y hay infinitos de esos entonces hay infinitas parejas suertudas.
muy bien:D
ResponderBorrarLos números 111...11000...002, 111...11000...003 con 82 1's y cualquier cantidad de 0's (la misma cantidad en ambos) son ambos suertudos y consecutivos.
ResponderBorrar$111...11000...002\rightarrow 82(1^2)+2^2=86\rightarrow 100\rightarrow 1$
$111...11000...003 \rightarrow 82(1^2)+3^2=91\rightarrow 82 \rightarrow 68 \rightarrow 100 \rightarrow 1$
Como puede ser cualquier cantidad de 0's, hay una cantidad infinita de parejas de suertudos consecutivos.
Prolongo $CA$ por $A$ hasta $E$ de forma que $AE=AD$.
ResponderBorrarSea $2\alpha = \angle BAC\Rightarrow \angle EAD=180-2\alpha$
y como $\triangle EAD$ es isósceles, $\angle DEA=\angle EDA=\alpha$.
Sea $\angle DBC=\beta$, como $\triangle BCD$ es isósceles,
$\angle BDC=\beta\Rightarrow\angle ADC=180-\beta\Rightarrow\angle EDC=180+\alpha-\beta$
Por teorema de la bisectriz generalizado en $\triangle ABC$,
$\frac{AB\times sen(\angle ABM)}{BC\times sen(\angle MBC)}=\frac{AM}{MC}=1 \Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{sen(\beta-\angle ABM)}{sen(\angle ABM)}$
Por ley de senos en $\triangle EDC$,
$\frac{DC}{sen(\alpha)}=\frac{EC}{\sen(180+\alpha-\beta)}\Rightarrow \frac{EC}{DC}=\frac{sen(180+\alpha-\beta)}{sen(\alpha)} \Rightarrow \frac{EC}{BC}=\frac{sen(\beta-\alpha)}{sen(\alpha)}$
$\frac{sen(\beta-\theta)}{sen(\theta)}=\frac{sen(\beta)cos(\theta)-sen(\theta)cos(\beta)}{sen(\theta)}=sen(\beta)\frac{1}{tan(\theta)}-cos(\beta)$
$\angle BAC=2\angle ABM \Leftrightarrow \alpha=\angle ABM \Leftrightarrow tan(\alpha)=tan(\angle ABM)$
$\Leftrightarrow sen(\beta)\frac{1}{tan(\alpha)}-cos(\beta)=sen(\beta)\frac{1}{tan(\angle ABM)}-cos(\beta) \Leftrightarrow \frac{sen(\beta-\alpha)}{sen(\alpha)}=\frac{sen(\beta-\angle ABM)}{sen(\angle ABM)}$
$\Leftrightarrow \frac{EC}{BC}=\frac{AB}{BC} \Leftrightarrow EC=AB\Leftrightarrow AC=DB$
Por lo tanto $\angle BAC=2\angle ABM \Leftrightarrow AC=DB$
Agregar ceros es muy mainstream. Aqui pueden encontrar otra construcción en los comentarios
ResponderBorrarhttp://www.matetam.com/problemas/algebra/numeros-suertudos