Problemas del dia

1) Se colocan fichas en algunas casillas de un tablero de 8 × 8 de modo que:

a) Hay al menos una ficha en cualquier rectángulo de lados 2 × 1 o
1 × 2.

b) Hay al menos dos fichas vecinas en cualquier rectángulo de lados
7 × 1 o 1 × 7.

Hallar la menor cantidad de fichas que pueden tomarse para cumplir
con ambas condiciones.


2) En el cuadrilátero cíclico ABCD, las diagonales AC y BD se cortan
en P. Sean O el centro de la circunferencia circunscrita a ABCD, y E
un punto de la prolongación de OC por C. Por E se traza una paralela
a CD que corta a la prolongación de OD por D en F. Sea Q un punto
interior a ABCD, tal que $\measuredangle AFQ = \measuredangle BEQ$ y $\measuredangle FAQ = \measuredangle EBQ$. Probar que PQ⊥CD

Problema 2 del dia

Problema 1 solucion Geometria

Problemas del Día de Geo

1) En la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, el punto $P$ es tomado de modo tal que la perpendicular trazada por el punto $P$ a la recta $AC$ corta a la circunferencia también en el punto $Q$, la perpendicular trazada por el punto $Q$ a la recta $AB$ corta a la circunferencia también en el punto $R$ y la perpendicular trazada por el punto $R$ a la recta $BC$ corta a la circunferencia también en el punto $P$. Sea $O$ el centro de esta circunferencia. Prueba que $\measuredangle POC=90^{\circ}$.

2) Dos circunferencias concéntricas de radios $1$ y $2$ están centradas en el punto $O$. El vértice $A$ del triángulo equilátero $ABC$ se encuentra en la circunferencia mayor, mientras que el punto medio del lado $BC$ se encuentra sobre la circunferencia menor. Si $B,O$ y $C$ no son colineales, ¿qué medida puede tener el ángulo $BOC$?

Problemas del Día

1) Se tienen $n$ bombillos en una circunferencia y uno de ellos está mar-
cado. Sea la operación $A$:
Tomar un divisor positivo $d$ del número $n$, comenzando por el bombillo
marcado y en sentido de las manecillas del reloj, contamos alrededor de la circunferen-
cia desde 1 hasta $dn$, cambiando el estado (encendido o apagado) a
aquellos bombillos que les corresponda los múltiplos de $d$.
Sea la operación $B$:
Aplicar la operación $A$ a todos los divisores positivos de $n$ (al primer
divisor que se le aplique es con todos los bombillos apagados y a los
restantes divisores es con el estado que resulte del divisor anterior).
Determina todos los enteros positivos $n$, tales que al aplicar la op-
eración $B$, resulten todos los bombillos encendidos.

2) Hallar el menor número real $A$, tal que existan dos triángulos distintos,
con longitudes de sus lados enteras y de modo que el área de cada uno
sea $A$.