Problemas del día

1) Sea ABC un triángulo acutángulo.
a) Hallar el conjunto de puntos que son centros de los rectángulos cuyos vértices se encuentran sobre los lados de ABC.
b) Determina si hay algún punto que es el centro de tres rectángulos diferentes cuyos vértices se encuentran sobre los lados de ABC.

2. Se quiere pintar todos los puntos del plano cuyas coordenadas son enteras, de manera que ningún rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados y vértices enteros del mismo color tenga área igual a una potencia de 2. Probar que es posible hacer esa coloración utilizando solamente dos colores.

Problemas del Día (Teoría de Números)

1) Prueba que hay infinitos pares ordenados de números enteros positivos $(m,n)$ tales que \[\frac{m+1}{n} + \frac{n+1}{m}\]
es un entero positivo.

2) Probar que existe un único entero positivo formado solamente por los dígitos 2 y 5, que tiene 2007 dígitos y que es divisible por $2^{2007}$ .

Problemas del Día (fáciles)

1) Se tiene un tablero de 9×9 donde se quieren situar todos los números
del 1 al 81. Probar que existe k ∈ {1,2,3,...,8,9} tal que el producto
de los números en la fila k difiere del producto de los números de la
columna k.

2) Considera un hexágono regular en el plano. Para cada punto P del
plano, sea L(P) la suma de las seis distancias de P a las rectas que
contienen cada uno de los lados del hexágono dado, y sea V (P) la suma
de las seis distancias de P a cada uno de los vértices del hexágono.
a) ¿Para cuáles puntos P del plano, L(P) toma su menor valor?
b) ¿Para cuáles puntos P del plano, V (P) toma su menor valor?

Problemas del dia

1) Se colocan fichas en algunas casillas de un tablero de 8 × 8 de modo que:

a) Hay al menos una ficha en cualquier rectángulo de lados 2 × 1 o
1 × 2.

b) Hay al menos dos fichas vecinas en cualquier rectángulo de lados
7 × 1 o 1 × 7.

Hallar la menor cantidad de fichas que pueden tomarse para cumplir
con ambas condiciones.


2) En el cuadrilátero cíclico ABCD, las diagonales AC y BD se cortan
en P. Sean O el centro de la circunferencia circunscrita a ABCD, y E
un punto de la prolongación de OC por C. Por E se traza una paralela
a CD que corta a la prolongación de OD por D en F. Sea Q un punto
interior a ABCD, tal que $\measuredangle AFQ = \measuredangle BEQ$ y $\measuredangle FAQ = \measuredangle EBQ$. Probar que PQ⊥CD

Problemas del Día de Geo

1) En la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, el punto $P$ es tomado de modo tal que la perpendicular trazada por el punto $P$ a la recta $AC$ corta a la circunferencia también en el punto $Q$, la perpendicular trazada por el punto $Q$ a la recta $AB$ corta a la circunferencia también en el punto $R$ y la perpendicular trazada por el punto $R$ a la recta $BC$ corta a la circunferencia también en el punto $P$. Sea $O$ el centro de esta circunferencia. Prueba que $\measuredangle POC=90^{\circ}$.

2) Dos circunferencias concéntricas de radios $1$ y $2$ están centradas en el punto $O$. El vértice $A$ del triángulo equilátero $ABC$ se encuentra en la circunferencia mayor, mientras que el punto medio del lado $BC$ se encuentra sobre la circunferencia menor. Si $B,O$ y $C$ no son colineales, ¿qué medida puede tener el ángulo $BOC$?

Problemas del Día

1) Se tienen $n$ bombillos en una circunferencia y uno de ellos está mar-
cado. Sea la operación $A$:
Tomar un divisor positivo $d$ del número $n$, comenzando por el bombillo
marcado y en sentido de las manecillas del reloj, contamos alrededor de la circunferen-
cia desde 1 hasta $dn$, cambiando el estado (encendido o apagado) a
aquellos bombillos que les corresponda los múltiplos de $d$.
Sea la operación $B$:
Aplicar la operación $A$ a todos los divisores positivos de $n$ (al primer
divisor que se le aplique es con todos los bombillos apagados y a los
restantes divisores es con el estado que resulte del divisor anterior).
Determina todos los enteros positivos $n$, tales que al aplicar la op-
eración $B$, resulten todos los bombillos encendidos.

2) Hallar el menor número real $A$, tal que existan dos triángulos distintos,
con longitudes de sus lados enteras y de modo que el área de cada uno
sea $A$.

Aviso Problema del Día

El problema del día se va a reiniciar el Martes 4 de Diciembre, que es  un poco despues de cuando regresan nuestros seleccionados de los entrenamientos nacionales, mientras tanto estoy buscando voluntarios para la temporada de invierno del problema del día, enfocada a IMO y Centro.

Estaba pensando cambiar la dinámica para que además sea problema del día poner a lo mejor tema del día, con un breve teorema o tip.

Los interesados en ayudar pongan en un comentario el área(s) en la(s) que quieren ayudar (Algebra, Números, Geometría, Combinatoria).

Problema del día, álgebra (24 de Octubre).

Sea $n$ un número entero positivo mayor que 1. Encuentra todas las parejas de enteros $(s,t)$ tal que las ecuaciones \[x^n+sx-2007=0\]\[x^n+tx-2008=0\] tienen al menos una raíz real en común.

Problema del dia. Combinatoria (20 de Octubre)

sean $a_1, \cdots , a_{10}$ diez números enteros. por demostrar que existen numeros $b_1 \cdots b_{10}$ números tales que solo pueden valer $\{ -1, 0, 1 \}$, no necesariamente todas iguales a $0$, tales que $ \sum_{i=1}^{10} b_i a_i$ es divisible entre $ 1001 $

Problema del día. Teoría de Números (16 de Octubre)

Sean $a$ y $b$ enteros. Demostrar que la ecuacion $$(x-a)(x-b)(x-3)+1=0$$ admite a lo más una solución entera para $x$.

Problema del día, álgebra (17 de Octubre).

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo de manera que los triángulos $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ y $EAB$ son todos de igual área. Demuestre que \[\frac{1}{4}(ABCDE)<(ABC)< \frac{1}{3}(ABCDE)\].

Problema del Día. Geometría (15 de Octubre)

Dado $\triangle ABC$ isosceles con $\angle A=90 \degree $. El punto $D$ esta en el segmento $BC$ de tal manera que cumple $BD=2CD$. Sea $E$ el pie de la perpendicular del punto $B$ en la linea $AD$.

Encontrar $\angle CED$.

Problema del dia. Combinatoria (13 Octubre)

Se tienen $1985$ enteros positivos no necesariamente diferentes tales que ninguno tiene un factor primo mayor a $23$, Muestre que hay $4$ de ellos tales que su producto es la $4$º potencia de un numero entero

Problema del día, álgebra (10 de Octubre).

Sean $a$, $b$, $c$ reales diferentes de cero tales que $a+b+c=0$ y $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$. Demuestre que: \[a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5}\].

Problema del día. Teoría de números. (9 de octubre)

Si se tiene que $a^n\equiv a \pmod n$ para toda $a$ entera, se dice que $n$ es un número de Carmichael cuando $n$ es compuesto. Muestre que $1,105$ es de Carmichael.

Problema del Día. Geometría (8 de Octubre)

Dos circunferencias se cortan en A y B. Una linea pasa por A intersecta a las circunferencias en C y D. Sean P y Q las proyecciones de B hacia las tangentes que pasan por C y D, respectivamente. Sea M la interseccion de PQ con CD.
Demostrar que MB es perpendicular a CD.

Problema del día, álgebra (3 de Octubre).

Si $a$, $b$ y $c$ son las longitudes de los lados de un triángulo de área $(ABC)$, demostrar que \[4\sqrt 3(ABC)\leq a^2+b^2+c^2\].

Problema del día. Teoría de números. (2 de octubre)

Muestra que si $(n-1)!\equiv-1\pmod n$ entonces $n$ es primo.

Problema del día. Geometría (1 de Octubre)

(Cambie el problema de hoy, perdon si alguien ya lo había empezado a intentar.) Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, con $AC \neq BC$ y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Muestra que $Q$ es el ortocentro de $\triangle ABC$.

Problema del Día. Teoría de Números (30 de Septiembre)

Demuestre que si $p$ y $q$ son números primos tales que:
\[ \frac{p^2+q^2}{p+q}\]
es un entero, entonces $p=q$.