Problema del dia. Combinatoria (20 de Octubre)

sean $a_1, \cdots , a_{10}$ diez números enteros. por demostrar que existen numeros $b_1 \cdots b_{10}$ números tales que solo pueden valer $\{ -1, 0, 1 \}$, no necesariamente todas iguales a $0$, tales que $ \sum_{i=1}^{10} b_i a_i$ es divisible entre $ 1001 $

Problema del dia. Combinatoria (13 Octubre)

Se tienen $1985$ enteros positivos no necesariamente diferentes tales que ninguno tiene un factor primo mayor a $23$, Muestre que hay $4$ de ellos tales que su producto es la $4$º potencia de un numero entero

Problema del dia, Combinatoria (29 de septiembre)

Se dan 101 rectángulos de lados enteros menores o iguales a 100. Por demostrar que hay tres rectángulos A, B y C que cumplen que A cabe dentro de B y B cabe dentro de C.

Problema del día. 22 de septiembre (Combinatoria)

muestra que para cualquier entero $k$ con $1 \le k \le \frac {n^2 + n}{2} $ existe un subconjunto de elementos distintos  entre si   $ \{ 1, 2, \cdots, n \} $ cuya suma seas $k$

Problema del dia. Combinatoria (15 de septiembre)

Determina los valores de n para los que es posible construir un cuadrado de n x n ensamblando con tetraminos t.

Problema del día. Combinatoria (8 de septiembre)

En una mesa redonda se colocan $n + 1$ números enteros positivos que suman $3n$. Muestra que existen números consecutivos que suman $2n$.

Problema del dia (combinatoria) 25/10/11

Se tiene un tablero de n x n pintado como tablero de ajedrez. Está permitido efectuar la siguiente operación en el tablero: Escoger un rectángulo en la cuadrícula tal que las longitudes de sus lados sean ambas pares o ambas impares, pero que no sean las dos iguales a 1 al mismo tiempo, e invertir los colores de los cuadritos de ese rectángulo (es decir, los cuadritos del rectángulo que eran negros se convierten en blancos y los que eran blancos, se convierten en negros).
Encuentra para que n's es posible lograr que todos los cuadritos queden de un mismo color después de haber efectuado la operación el número de veces que sea necesario.

problema de combinatoria (04/10/11)

En una cuadricula de 32*32 se escriben los numeros del 1 al 1024 de izquierda a derecha, con los numeros del 1 al 32 en el primer renglon, los del 33 al 64 en el segundo, etc.

la cuadricula se divide en cuatro cuadriculas de 16*16 que se recorren entre ellas en el sentido de las manecillas del reloj.

despues cada cuadricula de 16*16 se divide en 4 cuadriculas de 8*8 que se cambian de lugar del mismo modo, a su vez cada una de esas se divide y asi sucesivamente hasta llegar a cuadriculas de 2*2 que se dividen en cuadros de 1*1, los cuales cambian de lugar del mismo modo.

al terminar estas operaciones, que numeros quedan en la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la inferior derecha en la cuadricula de 32*32?

problema del dia (combinatoria) 27/09/11

Una ficha de domino tiene 2 numeros (no necesariamente diferentes), entre 0 y 6. Las fichas se pueden voltear, es decir (4-5) es la misma que (5-4). Se quiere formar una hilera de fichas de domino distintas de manera que en cada momento de la construccion de la hilera, la suma de todos los numeros de las fichas puestas hasta ese momento sea impar. Las fichas se pueden agregar de la manera usual a ambos extremos de la hilera, de manera que en cualesquiera 2 fichas consecutivas aparezca el mismo numero en los extremos que se juntan. Por ejemplo, se podria hacer la hilera (1-3)(3-4)(4-4), en la que se coloco primero la ficha del centro y luego la de la izquierda. Despues de poner la primera ficha, la suma de tdos los numeros es 7, despues de poner la segunda es 11, despues de la tercera 19.

Cual es la mayor cantidad de fichas que puede haber en una hilera?

Cuantas hileras de esa longitud maxima se pueden construir?

Problema del dia (combinatoria) 13/09/11

Hay $nk+k-1$ duendes. Al principio cada duende tiene exactamente $n$ amigos entre los demás duendes. Cada día cada duende se convierte en amigo de los amigos de sus amigos. Prueba que después de infinitos días no pueden existir $k$ o más grupos de amigos

Problema del dia (combinatoria) 06/09/11

Se tiene una cuadricula de $2011\times{2011}$, es posible cubrirla con rectangulos de $1\times{2}$ colocados horizontalmente y rectangulos de $1\times{3}$ colocados verticalmente?

Problema del día.

Demuestra que en un conjunto de diez números distintos de dos dígitos, siempre es posible encontrar dos subconjuntos disjuntos tales que la suma de sus elementos es la misma.

Ejemplo:

A={10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}

B={17,18}; C={16,19} aquí, la suma de los elementos de B es 17+18=35, y la de C es 16+19=35, entonces los subconjuntos B y C cumplen.

Problema del Dia

Ahora tenemos uno de combinatoria del Putnam. En el examen no me salió, pero el problema es muy bonito.

Un subconjunto de {1,2,3,...,n} se llama "mediocre" si para cualesquiera dos elementos a,b del subconjunto,si su promedio es entero se tiene que también esta en el subconjunto. Sea A(n) el número de subconjuntos mediocres de {1,2,...,n}. (Por ejemplo, todos los subconjuntos de {1,2,3} excepto {1,3} son mediocres, así que A(3) = 7). Encuentra todos los números naturales n tales que A(n+2) -2A(n+1) + A(n) = 1.