miércoles, 15 de octubre de 2014
martes, 14 de octubre de 2014
Problema
Probar que existen cadenas tan grandes como uno quiera de números consecutivos en las que cada número es divisible por el cuadrado de un entero mayor que 1.
Como siempre recomiendo que si no conocen el problema lo intenten antes de seguir leyendo, si no lo pueden resolver, recuerden el teorema chino del residuo el cual suele ser util en ciertos problemas con congruencias
Como siempre recomiendo que si no conocen el problema lo intenten antes de seguir leyendo, si no lo pueden resolver, recuerden el teorema chino del residuo el cual suele ser util en ciertos problemas con congruencias
lunes, 13 de octubre de 2014
Solución problema 10/10 de Antonio (Luis Carlos)
Según yo, le avancé bastante, pero no sé si hay algún teorema mágico que lo acabe o aún me falta algo de trabajo.
Edición: Ya, ya lo acabé. Antonio culo, no lo checaste.
sábado, 11 de octubre de 2014
Problema Facil: propiedades del triangulo
Dado un triangulo ABC. Sea M el punto medio del lado BC. H el ortocentro del triángulos ABC. $\omega$ el circuncirculo de ABC.
Sea H' el reflejo de H sobre BC.
Sea H'' el reflejo de H sobre M.
Demostrar:
i) $H' \in \omega$
ii) $H'' \in \omega$
iii) H'' es diametralmente opuesto al vertice A
Sea H' el reflejo de H sobre BC.
Sea H'' el reflejo de H sobre M.
Demostrar:
i) $H' \in \omega$
ii) $H'' \in \omega$
iii) H'' es diametralmente opuesto al vertice A
viernes, 10 de octubre de 2014
Problema del día. Geometría.
Sea $ABC$ un triangulo escaleno, $I$ el incentro y $O$ el circuencentro. $X$, $Y$ y $Z$ los puntos de tangencia del incirculo en los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. $E_a$ el excentro relativo al lado $BC$, analogamente se definen $E_b$ y $E_c$. Sea $M_a$ el punto medio de $E_bE_c$ y se definen analogamente los puntos $M_b$ y $M_c$.
Demuestra que $XM_a$, $YM_b$ y $ZM_c$ concurren en un punto, y que ademas este punto esta en la recta $IO$.
Demuestra que $XM_a$, $YM_b$ y $ZM_c$ concurren en un punto, y que ademas este punto esta en la recta $IO$.
Funciones Multiplicativas y sus aplicaciones olimpicas
Una función $f$ es multiplicativa si $f(mn) = f(m)f(n)$ cuando $m$ y $n$ son primos relativos. Ejemplos clásicos de funciones multiplicativas son $\tau(n)$ (número de divisores de $n$), $\phi(n)$ (número de números menores a $n$ que son primos relativos de $n$), $\sigma(n)$ (la suma de los divisores de $n$).
Una de las cosas más útiles de una función multiplicativa, es que muchas veces se reduce a estudiar que pasa con las potencias de primos. Por ejemplo, si uno quiere sacar una fórmula para $\phi$, basta saber que pasa con una potencia de primo, y la multiplicatividad lo extiende a $n$ arbitrario. Por eso si $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$ entonces $\phi(n) = p_1^{\alpha_1-1}(p_1-1) p_2^{\alpha_2-1}(p_2-1)\cdots p_k^{\alpha_k-1} (p_k -1)$.
Un teorema muy útil en la teoría de funciones multiplicativas es el siguiente (y los invito a demostrarlo): Si $f$ es una función multiplicativa, entonces $g(n) = \sum_{d | n} f(d)$ también es multiplicativa.
Un teorema un poco más general es: Si $f$ es multiplicativa y $g$ es multiplicativa entonces $$h(n) = \sum_{d | n} f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$$ también es multiplicativa.
Aquí les va una aplicación clásica del teorema:
Demostraré que $$\sum_{d| n} \phi(d) = n.$$ Este resultado tiene muchas demostraciones muy bonitas. La siguiente es una demostración fea, pero fácil:
$\phi$ es multiplicativa, por lo tanto $$g(n) = \sum_{d|n} \phi(d)$$ es multiplicativa. Por lo tanto basta saber que pasa con las potencias de primos. Veamos que pasa: $$g(p^{\alpha}) = \sum_{d | p^{\alpha}} \phi(d) = \phi(1) + \phi(p) + \phi(p^2) + \ldots + \phi(p^{\alpha})$$ $$ = 1 + (p-1) + (p-1)p + (p-1)p^2 + \ldots + (p-1)p^{\alpha-1} $$ $$= 1+ (p-1) (1 + p + \ldots + p^{\alpha-1}) = 1 + (p-1) \frac{p^{\alpha} - 1}{p-1} = 1 + (p^{\alpha} - 1) = p^{\alpha}.$$ Entonces $g$ es multiplicativa y $g(p^{\alpha}) = p^{\alpha}$, por lo tanto $g(n) = n$.
Un problema para ilustrar la idea de usar funciones multiplicativas es el siguiente:
Sea $\tau(n)$ el número de divisores de $n$ y $\omega(n)$ el número de divisores primos (distintos) de $n$ (por ejemplo $\omega(8) = 1, \omega(30) = 3$). Demuestra que $$\tau(n^2) = \sum_{d|n} 2^{\omega(d)}.$$ Para los curiosos que quieren una demostración que no usa "multiplicabilidad", aquí tengo una solución en inglés que encuentra una biyección entre los divisores de $n^2$ y los cuates de $2^{\omega(d)}$.
Un teorema muy útil en la teoría de funciones multiplicativas es el siguiente (y los invito a demostrarlo): Si $f$ es una función multiplicativa, entonces $g(n) = \sum_{d | n} f(d)$ también es multiplicativa.
Un teorema un poco más general es: Si $f$ es multiplicativa y $g$ es multiplicativa entonces $$h(n) = \sum_{d | n} f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$$ también es multiplicativa.
Aquí les va una aplicación clásica del teorema:
Demostraré que $$\sum_{d| n} \phi(d) = n.$$ Este resultado tiene muchas demostraciones muy bonitas. La siguiente es una demostración fea, pero fácil:
$\phi$ es multiplicativa, por lo tanto $$g(n) = \sum_{d|n} \phi(d)$$ es multiplicativa. Por lo tanto basta saber que pasa con las potencias de primos. Veamos que pasa: $$g(p^{\alpha}) = \sum_{d | p^{\alpha}} \phi(d) = \phi(1) + \phi(p) + \phi(p^2) + \ldots + \phi(p^{\alpha})$$ $$ = 1 + (p-1) + (p-1)p + (p-1)p^2 + \ldots + (p-1)p^{\alpha-1} $$ $$= 1+ (p-1) (1 + p + \ldots + p^{\alpha-1}) = 1 + (p-1) \frac{p^{\alpha} - 1}{p-1} = 1 + (p^{\alpha} - 1) = p^{\alpha}.$$ Entonces $g$ es multiplicativa y $g(p^{\alpha}) = p^{\alpha}$, por lo tanto $g(n) = n$.
Un problema para ilustrar la idea de usar funciones multiplicativas es el siguiente:
Sea $\tau(n)$ el número de divisores de $n$ y $\omega(n)$ el número de divisores primos (distintos) de $n$ (por ejemplo $\omega(8) = 1, \omega(30) = 3$). Demuestra que $$\tau(n^2) = \sum_{d|n} 2^{\omega(d)}.$$ Para los curiosos que quieren una demostración que no usa "multiplicabilidad", aquí tengo una solución en inglés que encuentra una biyección entre los divisores de $n^2$ y los cuates de $2^{\omega(d)}$.
jueves, 9 de octubre de 2014
Problema Combi 08/10
Sea N un número entero mayor que 1. ¿De cuántas formas se pueden acomodar todos los números 1, 2, 3, ... , 2N en las casillas de una cuadrículo de 2xN, uno en cada casilla, de manera que cualesquiera dos números consecutivos se encuentren en casillas que comparten un lado en la cuadrícula?
No es un problema muy difícil, pero tampoco lo han sido los 1, 2, 4, 5 de años pasados, y no tenemos puros perfectos en esos problemas. Es más de saberlo estructurar y asegurar no perder puntos. Creo.
No es un problema muy difícil, pero tampoco lo han sido los 1, 2, 4, 5 de años pasados, y no tenemos puros perfectos en esos problemas. Es más de saberlo estructurar y asegurar no perder puntos. Creo.
Problema del dia 9 de octubre.
Sean p, q y r tres primos (distintos) tales que p < q < r. Si 
y 
, hallar los posible valores de p, q y r.
y , hallar los posible valores de p, q y r. 
miércoles, 8 de octubre de 2014
Problema 5 de octubre Combinatoria y Algebra
sorry por no subir problema digamos que no tuve internet
pero Bueno aqui les va el problema
pero Bueno aqui les va el problema
Let  be real numbers satisfying  . Prove that for every integer  there are integers  , not all zero, such that  for all  , and  .
|
||
martes, 7 de octubre de 2014
Geometria - sencilla?
Triangulo escaleno $ABC$, con ortocentro $H$ y gravicentro $G$. La circunferencia con diametro $AH$ intersecta al circuncirculo del $BHC$ en $A'$ (A' diferente de H). De manera analoga $B'$ y $C'$. Demostrar que los puntos $A',B',C'$ y $G$ estan sobre una misma circunferencia.
sábado, 4 de octubre de 2014
Problema de Geometria del 4 de Octubre (Pepe)
Sea $C$ el punto de tangencia de la circunferencia $K$ y la recta $l$. Sea $AB$ el diámetro de $K$ con $A,B$ distintos de $C$. $N$ es el pie de la perpendicular de $C$ sobre $AB$. Se toma un punto $F$ en el segmento $CN$ distinto de $C,N$ y se traza por ahi la paralela a $CB$ que corta a $l$ en $E$ y a $CA$ en $G$. Demostrar que $EG=GF$
Tiempo recomendado: 45 minutos
Tiempo recomendado: 45 minutos
viernes, 3 de octubre de 2014
Problema del día. Álgebra. (Antonio)
La secuencia de números reales 
esta definida de la siguiente forma: 
y 
para 
. Muestra que existe un entero 
tal que 
.
esta definida de la siguiente forma: y para . Muestra que existe un entero tal que .
jueves, 2 de octubre de 2014
Suscribirse a:
Entradas (Atom)