problema 30 de dic

Problema 2 geo

Problema 2 facil

Problema 2007

Problema 1 m,n

Problema facil 1

Problemas del día

1) Sea ABC un triángulo acutángulo.
a) Hallar el conjunto de puntos que son centros de los rectángulos cuyos vértices se encuentran sobre los lados de ABC.
b) Determina si hay algún punto que es el centro de tres rectángulos diferentes cuyos vértices se encuentran sobre los lados de ABC.

2. Se quiere pintar todos los puntos del plano cuyas coordenadas son enteras, de manera que ningún rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados y vértices enteros del mismo color tenga área igual a una potencia de 2. Probar que es posible hacer esa coloración utilizando solamente dos colores.

Problemas del Día (Teoría de Números)

1) Prueba que hay infinitos pares ordenados de números enteros positivos $(m,n)$ tales que \[\frac{m+1}{n} + \frac{n+1}{m}\]
es un entero positivo.

2) Probar que existe un único entero positivo formado solamente por los dígitos 2 y 5, que tiene 2007 dígitos y que es divisible por $2^{2007}$ .

Problemas del Día (fáciles)

1) Se tiene un tablero de 9×9 donde se quieren situar todos los números
del 1 al 81. Probar que existe k ∈ {1,2,3,...,8,9} tal que el producto
de los números en la fila k difiere del producto de los números de la
columna k.

2) Considera un hexágono regular en el plano. Para cada punto P del
plano, sea L(P) la suma de las seis distancias de P a las rectas que
contienen cada uno de los lados del hexágono dado, y sea V (P) la suma
de las seis distancias de P a cada uno de los vértices del hexágono.
a) ¿Para cuáles puntos P del plano, L(P) toma su menor valor?
b) ¿Para cuáles puntos P del plano, V (P) toma su menor valor?

Problemas del dia

1) Se colocan fichas en algunas casillas de un tablero de 8 × 8 de modo que:

a) Hay al menos una ficha en cualquier rectángulo de lados 2 × 1 o
1 × 2.

b) Hay al menos dos fichas vecinas en cualquier rectángulo de lados
7 × 1 o 1 × 7.

Hallar la menor cantidad de fichas que pueden tomarse para cumplir
con ambas condiciones.


2) En el cuadrilátero cíclico ABCD, las diagonales AC y BD se cortan
en P. Sean O el centro de la circunferencia circunscrita a ABCD, y E
un punto de la prolongación de OC por C. Por E se traza una paralela
a CD que corta a la prolongación de OD por D en F. Sea Q un punto
interior a ABCD, tal que $\measuredangle AFQ = \measuredangle BEQ$ y $\measuredangle FAQ = \measuredangle EBQ$. Probar que PQ⊥CD

Problema 2 del dia

Problema 1 solucion Geometria

Problemas del Día de Geo

1) En la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, el punto $P$ es tomado de modo tal que la perpendicular trazada por el punto $P$ a la recta $AC$ corta a la circunferencia también en el punto $Q$, la perpendicular trazada por el punto $Q$ a la recta $AB$ corta a la circunferencia también en el punto $R$ y la perpendicular trazada por el punto $R$ a la recta $BC$ corta a la circunferencia también en el punto $P$. Sea $O$ el centro de esta circunferencia. Prueba que $\measuredangle POC=90^{\circ}$.

2) Dos circunferencias concéntricas de radios $1$ y $2$ están centradas en el punto $O$. El vértice $A$ del triángulo equilátero $ABC$ se encuentra en la circunferencia mayor, mientras que el punto medio del lado $BC$ se encuentra sobre la circunferencia menor. Si $B,O$ y $C$ no son colineales, ¿qué medida puede tener el ángulo $BOC$?

Problemas del Día

1) Se tienen $n$ bombillos en una circunferencia y uno de ellos está mar-
cado. Sea la operación $A$:
Tomar un divisor positivo $d$ del número $n$, comenzando por el bombillo
marcado y en sentido de las manecillas del reloj, contamos alrededor de la circunferen-
cia desde 1 hasta $dn$, cambiando el estado (encendido o apagado) a
aquellos bombillos que les corresponda los múltiplos de $d$.
Sea la operación $B$:
Aplicar la operación $A$ a todos los divisores positivos de $n$ (al primer
divisor que se le aplique es con todos los bombillos apagados y a los
restantes divisores es con el estado que resulte del divisor anterior).
Determina todos los enteros positivos $n$, tales que al aplicar la op-
eración $B$, resulten todos los bombillos encendidos.

2) Hallar el menor número real $A$, tal que existan dos triángulos distintos,
con longitudes de sus lados enteras y de modo que el área de cada uno
sea $A$.

Solución 23/oct (Luis Carlos)

Solución números viernes (Luis Carlos)

Problema del día viernes. Numeros

Un entero positivo $n$ es divertido si para cada divisor $d$ de $n$, $d+2$ es un numero primo. Encuentra todos los números divertidos con la mayor cantidad posible de divisores.

Solucion al problma de hector

Solucion al problema de geo de panda

Problema del dia 23/oct

Se colorea cada número del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} de rojo o de azul, de acuerdo con las siguientes reglas:

• El 4 se colorea de rojo y por lo menos uno de los otros números se colorea de azul.
• Si dos números x, y se colorean de distinto color y x + y £ 8, entonces el número x + y se colorea de azul.
• Si dos números x, y se colorean de distinto color y x × y £ 8, entonces el número x × y se colorea de rojo.

Hallar todas las coloraciones posibles con estas reglas

Un problema de IMO con geometria analitica

Me gustaria que intentaran este problema de la IMO de 1988 con geometría normal, antes de que yo les ponga la solución con analitica.

Uno sencillo de numeros

Sean $k_1,k_2,...,k_r$ enteros positivos tales que: $k_1+k_2+...+k_r=n$
Demuestra que:
$k_1!k_2!...k_r! | n!$

Solucion al problema de alonso

Geometria 19

Given a triangle satisfying . The incircle of triangle has center and touches the sides and at the points and , respectively. Let and be the reflections of the points and with respect to . Prove that the points , , , lie on one circle.

Solución del problema del 16/10

Problema del día (Pepe)

En el plano hay 10 gángsters con una pistola cada uno. Cada pistola tiene 1 bala.  Todas las distancias entre gángsters son distintas. Cada gangster le apunta al gángster que le quede más cerca y disparan exactamente al mismo tiempo (todos tienen buena autoestima y ninguno contempla el suicidio como una opción viable). ¿Cual es la máxima cantidad de gángsters que pueden sobrevivir? (Sí te disparan te mueres porque los gángsters no fallan sus disparos y las balas explotan dentro de ti pero no causan daños colaterales (los gángsters cuentan como puntos en el plano, no tienen forma de circulitos ni humanos o algo así))

Problema del día Viernes.Combinatoria

Nos dan un tablero de 100x100. Dos cuadros del tablero se consideran adyacentes si tienen un lado en común. Al inicio todos los cuadros del tablero son blancos.

a)¿Sera posible colorear una cantidad impar de cuadros de tal forma que cada cuadro coloreado tenga un numero impar de cuadros adyacentes coloreados?

b) ¿Sera posible colorear algunos cuadros de tal forma que un numero impar de cuadros tengan exactamente cuatro cuadros adyacentes coloreados y que todos los demás cuadros coloreados tengan exactamente 2 cuadros adyacentes coloreados?

c)¿Sera posible colorear algunos cuadros de tal forma que una cantidad impar de ellos tengan exactamente dos cuadros adyacentes coloreados y que todos los demás cuadros coloreados tengan exactamente cuatro cuadros adyacente coloreados?

Solucion al problema de quique

Problemas de Geo y Combi

Me faltó poner 2 problemas en esta semana y la anterior, ay van 3 problemas:

1) Dado cualquier conjunto de 9 puntos en el plano no hay 3 de ellos colineales, demuestra que para cada punto P del conjunto, el número de triángulos con sus vértices en los otros 8 puntos y que contienen a P en su interior es par

2) Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro. Considera un círculo que está dentro del circuncírculo de $\triangle{ABC}$ y lo toca (es tangente a él), y además toca los lados $CA$ y $BC$ del $\triangle{ABC}$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Demuestra que el punto $I$ es el punto medio del segmento $DE$.

Este problema les sirve de hint para el que sigue

3) Sea $\Omega$ el circuncírculo del $\triangle{ABC}$. El círculo $w$ es tangente a los lados $AC$ y $BC$, y es internamente tangente al círculo $\Omega$ en el punto $P$. Una línea paralela a $AB$ intersectando el interior del $\triangle{ABC}$ es tangente a $w$ en $Q$. Demuestra que $\angle{ACP}=\angle{QCB}$

PROBLEMA DEL DIA 16 /10

Sea ABC un triángulo y D, E, F los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados BC, CA, AB respectivamente. Sea P el segundo punto de corte de la circunferencia inscrita y la recta CF. Se sabe que el cuadrilátero ABPE es cíclico. Demostrar que DP es paralelo a AB.