Problema del Día (16 de Ene)

Determina todos los enteros positivos que son primos relativos a todos los terminos de la secuencia infinita:
\[ a_{n}=2^{n}+3^{n}+6^{n}-1,\ n\geq 1. \]

Problema del Día (15 de Ene)

Considera cinco puntos $A,B,C,D,E$ tales que $ABCD$ es un paralelogramo y $BCED$ es un cuadrilatero ciclico. Sea  $ \ell $ una linea que pasa por $A$. Suponga que $ \ell $ intersecta el interior del segmento $DC$ en $F$ e intersecta la linea $BC$ en $G$. Suponga tambien que $EF=EG=EC$. Prueba que $ \ell $ es la bisectriz del angulo $\angle DAB$

Problema del Día (14 de Ene)

Un mago tiene $100$ cartas numeradas del $1$ al $100$ (cada carta con un numero distinto). El las pone en tres cajas, una roja, una azul y una blanca, cada caja contiene al menos una carta. Un miembro de la audiencia toma dos cartas de cajas diferentes y le dice al mago su suma. Dada esta información, el mago localiza la caja de la que no se tomó ninguna carta.

¿De cuantas maneras se pueden acomodar las cartas en las tres cajas de tal manera que el truco funcione?

Problema del Día (13 de Ene)

Determina todas las parejas $(x,y)$ de enteros positivos tales que $ x^{2}y+x+y $ es divisible entre $ xy^{2}+y+7 $

Problema del Día (12 de Ene)

En un triangulo $ABC$ la bisectriz del ángulo $\angle BCA$ corta a la circunferencia circunscrita en $R$ ($R$ diferente de $C$), a la mediatriz de $BC$ en $P$ y a la mediatriz de $AC$ en $Q$. El punto medio de $BC$ es $K$ y el punto medio de $AC$ es $L$. Demostrar que los triángulos $RPK$  y $RQL$ tienen áreas iguales.

Problema del Día (11 de Ene)

Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $abc=1$. Prueba que:
\[ \frac{1}{a^{3}\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^{3}\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^{3}\left(a+b\right)}\geq\frac{3}{2}. \]

Problema del Día (10 de Ene)

Se tienen $27$ cubos iguales, de los cuales $9$ están pintados de de rojo, $9$ de verde y $9$ de azul. ¿Es posible formar con ellos un cubo de $3\times 3\times 3$ de tal manera que cada piza de $3\times 3 \times 1$ tenga exactamente dos colores?

Por cierto, quizás algunos días no pueda subir el problema del día hasta en la tarde porque ya entré a la escuela.

Problema del día (9 de Ene)

Sea $n$ un entero positivo y sean $ a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{k} $ $ \left( k\ge 2\right) $ enteros distintos en el conjunto $ \{ 1,2,\ldots ,n \} $ tales que $n$ divide a $ a_{i}(a_{i+1}-1) $ para $ i = 1,2,\ldots,k-1 $. Demuestra que $n$ no divide a $ a_{k}(a_{1}-1). $

Problema del Día (8 de Ene)

Sea $ABC$ un triangulo con $AB=AC$. Las bisectrices de $\angle CAB$ y $\angle ABC$ cortan a los lados $BC$ y $CA$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $K$ el incentro del triangulo $ADC$. Suponga que $\angle BEK = 45^\circ$. Encuentra todos los valores posibles de $\angle CAB$.

Problema del Día (7 de Ene)

(i) Si $x,y,z$ son tres números reales, todos diferentes de 1, tales que $xyz=1$, entonces prueba que:
\[ \frac{x^{2}}{\left(x-1\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(y-1\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(z-1\right)^{2}}\geq 1 \]
(ii) Prueba que la igualdad se alcanza para infinitas ternas de números racionales $x,y,z$.

Problema del Día (6 de Ene)

Sea $n$ un entero positivo. Cada punto $(x,y)$ en el plano, donde $x,y$ son no-negativos con $x+y \textless n$, se colorea de rojo o azul, bajo la siguiente condición: si un punto $(x,y)$ es rojo, tambien lo son todos los puntos $(x^{\prime},y^{\prime})$ con $x^{\prime} \leq x$ y $y^{\prime} \leq y$. Sea $A$ el número de formas de escoger $n$ puntos azules con coordenadas $x$ distintas, y sea $B$ el número de formas de escoger $n$ puntos azules con coordenadas $y$ distintas. Prueba que $A=B$.

256 Entradas!!

Con esta llegamos a las $256=2^8$ entradas del blog, y para los que creian que 2011 es primo, pues no, es potencia de 2, $2^8=2011$ ... en base 5 jeje.

Aprovecho esta entrada para avisarles que puse una barra de comentarios recientes, así ya no tienen que estar revisando en todos lados para ver si hay comentarios nuevos, lo malo es que en la barra no se ve el $\LaTeX{}$.

Problema del Día (5 de Ene)

Sea $d$ cualquier entero positivo diferente de $2,5$ o $13$. Muestra que puedes encontrar $a,b$ distintos en el conjunto $ \{2,5,13,d\} $ tales que $ab-1$ no es un cuadrado perfecto.

Problema del Día (4 de Ene)

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ y $P$ un punto en el interior del triángulo. Las rectas $AP,BP$ y $CP$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en los puntos  $K,L$ y $M$, respectivamente. La recta tangente en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$. Si se tiene que $SC=SP$, demuestre que $MK=ML$.

Problema del Día (3 de Ene)

Sea $n \geq 3$ un entero. Sean $t_1,t_2,\cdots,t_n$ reales positivos tales que:

\[n^{2}+1 >\left( t_{1}+t_{2}+...+t_{n}\right)\left(\frac{1}{t_{1}}+\frac{1}{t_{2}}+...+\frac{1}{t_{n}}\right)\]


Prueba que $t_i,t_j,t_k$ son los lados de un triangulo para toda $i,j,k$ con $ 1\leq i \textless j \textless k\leq n $.

Problema del dia (2 de Ene)

Se tiene un grafo $G$ con $n$ vértices, todos pintados de blanco o de negro. En cada paso, se escoge un vértice y se cambia el colo de ese vértice y todos los adyacentes a él. Demuestra que si la gráfica  comienza completamente blanca, se puede hacer completamente negra.

Problema del día (1 de Ene)

Primero que nada felíz año $2011$!!
Busque un problema bonito que involucrara a $2011$, pero no encontré ninguno bonito. Así que aqui va este otro.

Si $a$ y $b$ son enteros positivos tales que $3a^2+a=4b^2+b$, prueba que $a-b$ es un cuadrado perfecto.

Problema del Día (31 de Dic)

Sea $P$ un punto fuera del círculo $C$. Considera todos los trapecios inscritos en $C$ tales que sus lados no paralelos se intersectan en $P$ (al prolongarlos). Muestra que las diagonales de dichos trapecios se intersectan todas en un mismo punto (independientemente del trapecio).

Problema del Día (30 de Dic)

Hallar todas las funciones $ f: (0,\infty)\mapsto (0,\infty) $ (es decir, las funciones $f$ de los números reales positivos en los números reales positivos) tales que
\[ \frac{\left( f(w)\right)^{2}+\left( f(x)\right)^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2}) }=\frac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}} \]
para todos los números reales positivos $ w,x,y,z, $ que satisfacen $wx=yz$

Problema del Día (29 de Dic)

Sea $A$ un subconjunto de $101$ elementos del conjunto $ S=\{1,2,\ldots,1000000\} $. Prueba que existen números $t_1,t_2, \ldots , t_{100}$ en $S$ tales que los conjuntos
\[ A_{j}=\{x+t_{j}\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\ldots,100 \]
son disjuntos por parejas.

Problema del día (28 de Dic)

Determina todas las parejas de enteros $(x,y)$ que cumplen:
\[ 1 + 2^x + 2^{2x+1}= y^2\]

Problema del día (27 de Dic)

Otro IMO reciente de geometría.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el centro de su circunferencia inscrita. Sea $P$ un punto en el interior del triángulo tal que
\[ \angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB\]

Demuestre que $AP \geq AI$ y que se da la igualdad si y sólo si $P=I$

Problema del día (26 de Dic)

Es día de algebra!

Encuentra todas las funciones  $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que para todo $x,y\in\mathbb{R}$ se cumple la siguiente igualdad:

\[ f(\left\lfloor x\right\rfloor y)=f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor \]

Donde $ \left\lfloor a\right\rfloor $ es la función piso.

Este problema es de una IMO reciente, si ya lo habían hecho me dicen para poner otro.

Problema del día (25 de dic)

Hoy no hay problema del día!

Felíz Navidad!

Problema del Día (24 Dic)

Regalito adelantado de navidad de combinatoria.

Se tiene un tablero de 100x100. Cada casilla se pinta de uno de $4$ colores distintos de ta manera que en cada fila y cada columna hay exactamente $25$ casillas de cada color. Demuestra que hay $4$ casillas de colores distintos que forman un rectángulo con lados paralelos al tablero.

Problema 4 del nacional XXII (San Carlos 2008)

Este problema es uno de los 4 más difíciles que recuerdo. No me ha salido, otro 4 difícil es el 4 de Oaxtepec 2001 (OMM XV), pero ese me sale cada vez que lo intento porque ya me acuerdo del truquito.

Problem 4 OMM XII:

Los caballeros $ C_1,C_2,\ldots,C_n $, del Rey Arturo, se sientan en una mesa
redonda de la siguiente manera:

El rey decide realizar un juego para premiar a uno de sus caballeros. Iniciando con $ C_1 $, y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj, los caballeros irán diciendo los números 1, 2, 3, luego 1, 2, 3, y así sucesivamente (cada caballero dice un número). Cada caballero que diga 2 ó 3 se levanta inmediatamente y el juego continúa hasta que queda un solo caballero: el ganador.

Por ejemplo, si $ n = 7 $, los caballeros dirán 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1 en la primera vuelta; después $ C_1 $ dirá 2 y $ C_4 $ dirá 3, y gana entonces el caballero $ C_7 $.

Encuentra todos los valores de $ n $ de tal manera que el ganador sea el caballero $ C_{2008} $.

Solucion P6 OMM 24

Para los que todavia no saben como se hace el 6 :P
Este es el primer nacional en que se como se hacen los 6 problemas.
Del 2008 no se como hacer el 3,4,5 y del 2009 el 2 y 6

Lo hice ayer en la noche

Esta en un comentario porque esta poco largo.

Problema del día (23 dic)

Ahora toca números:

Encuentra todas las parejas $(n,m)$ de enteros tales que $2^n+3^m$ es un cuadrado perfecto.

Problema del Dia (22 Dic)

Vuelve el problema del día al blog. Los problemas que se estarán poniendo serán de nivel avanzado, es decir nacionales dificiles, IMOs faciles y por el estilo.
Los objetivos de esta temporada del problema del día son basicamente apoyar a Karina en su trayecto a la IMO, apoyar a Alberto para que le valla bien en los entrenamientos nacionales y en el proximo nacional y darle algo que hacer a  los olimpicos repetidores y entrenadores que se aburren (nos aburrimos) en estas vacaciones de invierno.

Comenzaremos con un problema de geometria de una IMO reciente.

Un triángulo acutángulo $ABC$ tiene ortocentro $H$. La circunferencia con centro en el punto medio de $BC$ que pasa por $H$ corta a la recta $BC$ en $A_1$ y $A_2$. La circunferencia con centro en el punto medio de $CA$ que pasa por $H$ corta a la recta $CA$ en $B_1$ y $B_2$. La circunferencia con centro en el punto medio de $AB$ que pasa por $H$ corta a la recta $AB$ en $C_1$ y $C_2$. Demostrar que $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ están sobre una misma circunferencia.

Si a la semana nadie ha resuelto un problema, pongo sugerencia.

Examenes de entrenamiento 1 y 2

PRIMER EXAMEN DE ENTRENAMIENTO


Problema 1.
Muestra que 2010 no se puede escribir como una diferencia de dos cuadrados.


Problema 2.
Sea $ABC$ un triángulo y $D$ un punto sobre el lado $BC$. Sean $U$ el circuncentro del triángulo $BDA$ y $V$ el circuncentro del triangulo $CDA$.
Muestra que $ABC$ y $AUV$ son semejantes.


Problema 3.
Sean $a,b$ numeros reales con $0 \leq a , b \leq 1$. Muestra la desigualdad:

\[ \sqrt{a^3 b^3} + \sqrt{(1-a^2)(1-ab)(1-b^2)} \leq 1 \]

Cuando ocurre la igualdad?


Problema 4.
Una sucesion {$a_n$} con $a_n = a + nd$ se conoce como una $progresion$$aritmetica$. La sucesion {$b_n$} donde $b_n = \sum_{i=0}^{n} a_i$se conoce como una $progresion$$aritmetica$$de$$segundo$$grado$.
Considera todas las progresiones aritmeticas {$a_n$} que cumplan que $a$ y $d$ son enteros positivos y tales que su progresion aritmetica de segundo grado {$b_n$} contiene al numero 2010.
$(a)$ Cual es el mayor indice $n$ que cumple con $b_n = 2010$ ?
$(b)$ Encuentra todas las progresiones aritmeticas {$a_n$} para las que $b_n = 2010$ para el indice $n$ de la parte $(a)$.




SEGUNDO EXAMEN DE ENTRENAMIENTO


Problema 1.
Considera $M_n =$ {$0, 1, 2, \ldots , n$} el conjunto de los enteros no-negativos menores o iguales a $n$. Un subconjunto $K$ de $M_n$ se dira $"regulado"$ si no es vacio y para cada $k \in K$ existe un subconjunto $L$ de $K$ con exactamente $k$ elementos.
Cuantos subconjuntos regulados hay en $M_n$ ?


Problema 2.
Para $n \geq 1$ natural considera a $f(n) = 1 + n + n^2 + \ldots + n^{2010}$ .
Muestra que ningún entero del conjunto {$2, 3, 4, \ldots , 2010$} divide a $f(n)$,


Problema 3.
Una diagonal de un hexagono convexo se dira $"diagonal$$mayor"$, si divide al hexagono en dos cuadrilateros. Dos diagonales mayores dividen al hexagono en dos triangulos y en dos cuadrilateros.
Un hexagono convexo $H$ tiene la propiedad de que cada division de $H$ por dos de sus tres diagonales mayores siempre tiene los dos triangulos isosceles y con lados del hexagono como bases.
Muestra que los vertices de $H$ estan sobre una circunferencia.

Problema 4.
Dos disecciones de un cuadrado en tres rectangulos se consideran iguales si una se puede obtener de la otra por un reacomodo de las tres piezas (para formar el cuadrado).
Cuantas disecciones diferentes hay de un cuadrado de lado 2010 en tres rectangulos, si los rectangulos tienen lados de longitudes enteras y el area de un rectangulo es igual a la media aritmetica de las areas de los otros dos?