Problema del Día. Teoría de Números (30 de Septiembre)

Demuestre que si $p$ y $q$ son números primos tales que:
\[ \frac{p^2+q^2}{p+q}\]
es un entero, entonces $p=q$.

Problema del día. Algebra (30 de septiembre)

Prueba que para cada entero positivo $n$ existe un número de $n$ dígitos múltiplo de $5^n$ y compuesto únicamente de dígitos impares.

Problema del dia, Combinatoria (29 de septiembre)

Se dan 101 rectángulos de lados enteros menores o iguales a 100. Por demostrar que hay tres rectángulos A, B y C que cumplen que A cabe dentro de B y B cabe dentro de C.

Problema del día. Combinatoria (28 de Septiembre)

En una Olimpiada de Matemáticas los concursantes están ocupando todos los asientos de un salón rectangular donde los asientos están alineados en filas y columnas de tal manera que hay más de dos filas y en cada fila hay más de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los concursantes que están junto a él (adelante, atrás, a los lados y en diagonal) y sólo a éstos. Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos ¿Cuántos concursantes hay?

Problema del Día. Geometría (27 de Septiembre) - 2

(Otro problema adicional para el dia de hoy)

Sea ABC un triangulo isosceles con AB=AC. Sea I el incentro. Se sabe que BC=AB+AI. Sea D un punto en el rayo BA tal que AD=AI (A, quedaria entre los puntos B y D).

Demostrar que DAIC es ciclico y encontrar el valor del angulo $\angle ABC$

Problema del Día. Geometría (27 de Septiembre)

Los triangulos OAB, OBC, OCD son isosceles con los angulos $\angle OAB=\angle OBC=\angle OCD =90\degree$.
Encontrar el area del triangulo $\triangle OAB$ si $(OCD)=12$

Problema del día, álgebra (26 de Septiembre).

Una función $f$ está definida para todos los enteros positivos y satisface $f(1)=2006$ y $f(1)+f(2)+...+f(n)=n^2f(n)$ para todo entero $n>1$. Encuentra el valor de $f(2006)$.

Problema del día. Teoría de números (25 de septiembre)

¿Para qué naturales $n$ la suma de los divisores de $10^{n}$ es múltiplo de 9?

Problema del Día. Geometría (24 de Septiembre)

Dado un triangulo acutangulo ABC, se toman puntos D,E,F sobre los lados a,b,c respectivamente. Demostrar que los circuncirculos de AEF, CDE, BDF tienen un punto en comun.

Problema del Día. Teoría de Números (23 de Septiembre)

Sea $n$ un entero positivo tal que $2^n+2$ es múltiplo de $n$ y $2^n+1$ es múltiplo de $n-1$. Pruebe que $2^{2^n+2}+2$ es múltiplo de $2^n+2$ y que $2^{2^n+2}+1$ es múltiplo de $2^n+1$.

Aviso, hubo un error en la redaccion original, apenas me di cuenta hoy (27 de septiembre), se reinicia el conteo de los tres dias.

Problema del día. Algebra (23 de septiembre)

Determina todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que $a-b$ es un número primo y $ab$ es un cuadrado perfecto.

Tarea no obligatoria y tabla del blog

La tabla de resultados del blog hasta el 12 de septiembre la pueden revisar en la siguiente liga Ustedes se tienen que hacer responsables de sus propios resultados y asegurarse de que esten bien.

https://www.dropbox.com/s/upgsyy4khdrszcw/Blog.xlsx

Me preocupa el poco avance que veo en geometría, así que para corregir eso, tendrán la siguiente tarea.

Revisar en la siguiente liga, buscar el libro de geometria. Tendrán que leer el capitulo 1 con sus 8 secciones, con todos sus teoremas y ejemplos. Deberán resolver 2 problemas de cada sección por semana. No es para entregar, solamente es para su propio beneficio.

http://www.ommch.org/entrenate

Editor de LaTeX en línea

Aquí hay dos editores en los que pueden revisar sus fórmulas de LaTeX:

http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
Este editor les muestra las fórmulas conforme las escriben. La única diferencia es que deben iniciar su escrito con un $ extra, el cual deben recordar quitar antes de pasarlo al blog. Por ejemplo, si quieren escribir en el blog:
Dados $a_1,a_2,...,a_n$ números reales positivos
Deben escribir en el editor:
$Dados $a_1,a_2,...,a_n$ números reales positivos
Y cuando vean que queda bien, le quitan el $ inicial y lo pasan al blog.

Una segunda opción es la siguiente:
http://www.numberempire.com/texequationeditor/equationeditor.php
En este también hay que agregar el $ extra inicial. La diferencia es que en este deben hacer click en el botón "Render Equation" para ver como queda, y no maneja bien los acentos. Recomiendo más el primero.

Problema del día. 22 de septiembre (Combinatoria)

muestra que para cualquier entero $k$ con $1 \le k \le \frac {n^2 + n}{2} $ existe un subconjunto de elementos distintos  entre si   $ \{ 1, 2, \cdots, n \} $ cuya suma seas $k$

Acerca de los problemas fuera de secuencia

Si llega a haber huecos en los dias del blog, me encargaré de que se llenen. Cualquier problema fuera de secuencia se tomará a partir del día que se publicó para la regla de los tres días.

Mañana publicaré los resultados del blog. De entrada les digo que de nuevo hubo gente que no quedó por falta de trabajo, aun a pesar de las advertencias. Tambien hubo gente que quedó gracias a su trabajo.

Problema del día. Algebra (16 de septiembre)

Se tiene una secuencia de $2012$ números racionales, que se generan de la siguiente manera:
El primer número es $1$, y a partir del segundo, si el número anterior de la secuencia es $x$, entonces el siguiente número es $x+\frac{1}{\left \lfloor x \right \rfloor}$ ( donde $\left \lfloor x \right \rfloor$ indica la parte entera de $x$). ¿Cuál es el último número de la secuencia?

Problema del dia. Combinatoria (21 de Septiembre)

Sea n un número entero mayor que 1. ¿De cuántas formas se pueden acomodar todos los números 1,2,…,2n en las casillas de una cuadrícula de 2×n, uno en cada casilla, de manera que cualesquiera dos números consecutivos se encuentren en casillas que comparten un lado de la cuadrícula?

Problema del dia. Combinatoria (14 de Septiembre)

Considera un tablero de ajedrez. Los números del 1 al 64 se escriben en las casillas del tablero como en la figura:

  1       2       3        4       5        6       7       8
  9     10     11     12     13     14     15     16
17     18     19     20     21     22     23     24
25     26     27     28     29     30     31     32
33     34     35     36     37     38     39     40
41     42     43     44     45     46     47     48
49    50      51     52     53     54     55     56
57    58      59     60     61     62     63     64

Se disponen de suficientes caballos de ajedrez para colocarlos en las casillas del tablero de manera que no se ataquen entre sí. Si se calcula la suma de los números de las casillas donde están colocados los caballos, ¿cuál es la suma máxima que puedes obtener?

Nota. Dos caballos se atacan entre sí, cuando se encuentran en 2 esquinas opuestas de un rectángulo de 2×3 ó de 3×2.

Resultados del Primer Corte

Las siguientes personas pasarán a la siguiente etapa:

(Resultados en orden)

Luis Enrique Chacón Ochoa	Prepa 20-30
Arturo Arenas Esparza	EST #72
Luis Carlos García Ramos	Prepa Tec
Alejandra Paola Ramírez Gónzalez	Prepa Central
Antonio López Guzman	Leyes de Reforma
Martin Contreras Carrera	Leyes de Reforma
Ricardo García Ramírez	Prepa Tec
José Nieves Flores Máynez	ESBIN
Leonardo Isaac Gutiérrez Sierra	COBACH #19
Alberto Sosa Borunda	EST #40
Alonso Granados Baca	Colegio Independencia
Diego Andrés Astiazarán Tobin	Prepa Tec
Edwin Tomy George	Colegio Americano
Ana Laura Robles Bencomo	CBTis 117
Enrique Domínguez Lucero	EST #51

Por causas de fuerza mayor, el segundo entrenamiento general se cambia a Ciudad Juárez y el tercer entrenamiento general se cambia a Chihuahua.

El segundo entrenamiento general será del 5 al 8 de Octubre en el IIT de la UACJ.

¡Muchas felicidades a todos!

Problema del Día. Geometría (20 de septiembre)

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo. $D$ es un punto sobre el lado $BC$. Sea $Q$ la intersección de $AD$ y la mediana de $\triangle ABC$ desde $C$, y $P$ un punto cualquiera sobre $AD$ distinto de $Q$. El circuncírculo de $\triangle CPD$ intersecta otra vez a $CQ$ en $K$. Demuestra que sin importar la elección del punto $P$, el circuncírculo de $AKP$ pasa por un punto fijo distinto de $A$.

Problema del día, álgebra (19 de Septiembre).

Dados $a_1,a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que $a_1a_2...a_n=1$ demostrar que \[(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)\geq 2^n\].

Problema del día. Teoría de Números (18 de septiembre).

En una fila para comprar boletos de cine se encuentran formadas $10,240$ personas. El caprichoso vendedor dice que va a atender uno no, uno sí, uno no, uno sí, etc. Los que no atienda deberán irse al final de la fila (uno por uno, en orden). ¿En qué lugar está formado al principio el último que va a poder comprar su boleto?

Problema del Día. Geometría (17 de septiembre)

Dado $\triangle ABC$. Las bisectrices de los angulos $A,B,C$ intersectan al circuncirculo en $D,E,F$ respectivamente. Demostrar que $AD$ es perpendicular a $EF$

Problema del dia. Combinatoria (15 de septiembre)

Determina los valores de n para los que es posible construir un cuadrado de n x n ensamblando con tetraminos t.

Problema del Día. Geometría (13 de septiembre)

En el triángulo isósceles $ABC$, con $AB=AC$, $D$ es un punto sobre la prolongación de $CA$ tal que $DB$ es perpendicular a $BC$, $E$ es un punto sobre la prolongación de $BC$ tal que $CE=2BC$, y $F$ es un punto sobre $ED$ tal que $FC$ es paralela a $AB$. Probar que $FA$ es paralela a $BC$. ¡NOTA! $E$ esta en el rayo $BC$, es decir que $C$ queda entre $E$ y $B$.

Problema del día, álgebra (12 de Septiembre).

Demostrar que si $x$, $y$, y $z$ son reales que satisfacen \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\] entonces al menos uno de los siguientes números es cero: $x+y$, $y+z$ o $z+x$.

Problema del día. Teoría de números. (11 de septiembre)

Se sabe que en todo triángulo rectángulo con lados enteros $x,y,z$, éstos son de la forma $x=2st$, $y=s^{2}-t^{2}$ y $z=s^{2}+t^{2}$, (con $x,y$ catetos y $z$ la hipotenusa), con $s,t$ enteros. Se dice entonces que $(x,y,z)$ es una terna pitagórica.
Muestra que si $(x,y,z)$ es una terna pitagórica, entonces se satisface que el producto $xyz$ es múltiplo de 30.

Aviso. Primer Selectivo y Problema Del Día

Los problemas que contarán para el primer selectivo serán todos los que se publiquen hasta el miercoles $12$, los del $13$ en adelante contarán para el selectivo que sigue.

El primer entrenamiento general empezará este viernes $14$ en la tarde. Mas adelante publicaré un horario.

Regla de los tres días explicada: tienen tres días (contando a partir del día siguiente) para subir su primer intento significativo (aunque no este completo). En los tres días no se cuenta días donde tengan entrenamiento local. 

Recuerden que el problema día contará para el selectivo. El año pasado hubo gente que aunque tuvo puntaje por arriba del corte (muy apenas), fue cortada por no haber trabajado, y hubo gente que por haber trabajado quedó. Sobre aviso no hay engaño.

Pueden poner sus dudas al respecto en los comentarios de este post. Actualizaré el post de acuerdo a las dudas que salgan.

Problema del Día. Geometría (10 de Septiembre)

Sea $\triangle ABC$ un triangulo acutangulo, $A_1, B_1$ los pies de las alturas desde $A$ y $B$ respectivamente. $M$ el punto medio de $AB$.
a) Demostrar que $MA_1$ es tangente al circuncirculo del $\triangle A_1B_1C$
b) Demostrar que los circuncirculos de $\triangle A_1B_1C, \triangle BMA_1, \triangle AMB_1$ tienen un punto en comun.

Problema del día. Algebra (9 de septiembre)

Determina todos los enteros positivos $n$ para los que existen enteros positivos distintos $a_1,a_2,...,a_n$ tales que $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}+\cdots+\frac{a_n}{a_1}$ es un entero.

Problema del día. Combinatoria (8 de septiembre)

En una mesa redonda se colocan $n + 1$ números enteros positivos que suman $3n$. Muestra que existen números consecutivos que suman $2n$.

Problema del dia. Combinatoria (7 de Septiembre)

¿Cuántos enteros positivos satisfacen las siguientes $3$ condiciones?

a)Todos los digitos de ese numero pertenecen al conjunto $\{1,2,3,4,5\}$
b)El valor absoluto de la diferencia entre cualesquiera $2$ digitos consecutivos de este numero es $1$
c)El numero tiene $2012$ digitos

Problema del Día. Geometría (6 de Septiembre)

En el triángulo equilátero $ABC$, una recta paralela al lado $AC$ intersecta a $AB$ en $M$ y a $BC$ en $P$. Si $D$ es el incentro del triángulo $MBP$ y $E$ es el punto medio de $AP$, determine los ángulos del triángulo $CDE$.

Problema del día, álgebra (05 de Septiembre).

Demostrar que para cualquier real $a$ se satisface la siguiente desigualdad \[a^4+1\geq a^3+a\].

Problema del día. Teoría de Números (4 de Septiembre)

Demostrar que no existe ninguna pareja de primos $p$, $q$, con $p &lt q$, de tal manera que $p^{2}+pq+6q-1$ sea múltiplo de $pq$.

Problema del Día. Geometría (3 de Septiembre)

Sean $A$ y $B$ dos puntos en el plano, $M$ es el punto medio de $AB$. Se tiene una linea $r$, sea $R$ y $S$ las proyecciones de $A$ y $B$ en $r$ respectivamente. Asumiendo que $A$, $M$, y $R$ no son colineales, demostrar que el circunradio del triangulo $AMR$ es igual al circunradio del triangulo $BSM$.

Problema del Día. Combinatoria (2 de Septiembre)

En el pizarron se tienen escritos $14$ números  enteros, no necesariamente distintos, que verifican la propiedad de que al borrar cualquiera de ellos, se pueden agrupar los trece restantes en tres montones de igual suma.
(a) Pruebe que cada uno de los $14$ números es multiplo de $3$.
(b) ¿Es posible que alguno de los $14$ números no sea el $0$?