Lo que hacemos en los entrenamientos...

Otra solucion al problema del minimo.

No veo muy seguido el blog asi que esto es algo que se escribio desde Dicembre. Pero me llamo la atención el problema y decidi hacer una solución distinta. Es algo que no se usa mucho en la olimpiada pero ayuda a solucionar este tipo de problemas El Calculo. No voy a presentar todas las ecuaciones por que que hueva.

Si le llamamos g(x,y)=x^3+y^3+z^3-3xyz-1 ; f(x,y)=x^2+y^2^z^2 entonces por el método de Lagrange tenemos las derivadas parciales de f son iguales a las de g por una constante. Bueno entonces las equaciones que obtenemos son

2x=3c(x^3-yz)

2y=3c(y^3-xz)

2z=3c(z^3-xy)

Donde “c” es una constante y aparte tenemos la ecuacion g(x,y)=0 .

Entonces multiplicando las ecuaciones por x la primera por y la segunda y por z la tercera y sumándolas obtenemos 2(x^2+y^2+z^2)=3c (g(x,y)+1)=3c bueno también sumado la 3 ecuaciones y multiplicando por (x+y+z) de los dos lados nos da 2(x+y+z)^2=3c lo que significa que (x^2+y^2+z^2)= (x+y+z)^2

La ultima igualdad nos da que xy+yz+zx=0 y ya con toda esta infromacion es fácil darse cuenta que

(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)=1 y después obtén que (x^2+y^2+z^2)^3=1 por lo que (x^2+y^2+z^2) =1 por que no puede ser -1 dado que es positivo. Para ver que no es un máximo date cuenta que x=y=(1/2)^(1/3) z=0 es una solución de g pero te da mayor a 1 en f.

Espero la solución este clara saludos a todos y besos a todas mis fans.

Carlos