Las ecuaciones que normalmente encontramos en la vida, son ecuaciones en terminos de variables, por ejemplo encontrar los posibles valores de $x$ cuando cumple que $x^2-15x+8$ y se sabe que $x$ es real. En estas ecuaciones se encuentra una o varias soluciones mediante diferentes técnicas algebraicas (o de teoría de números si la ecuación es diofantina).
Las ecuaciones funcionales, como su nombre indica, en lugar de estar en términos de variables en un dominio, están en términos de funciones, las cuales se cumplen para todos los valores de cierto conjunto. Normalmente en la ecuación funcional la información que se dará es:
- El dominio
- El rango
- La ecuación como tal
- Quizás alguna condición adicional
Como en cualquier problema de olimpiada es importante utilizar toda la información que se da, ya que si no se usa es muy dificil acabar el problema. Por ejemplo si te dicen que el dominio de la función es $\mathbb{Z}^+$ entonces trabajar con los negativos sería inutil.
Tarea - Investigar que es una función:
- Inyectiva
- Suprayectiva
- Biyectiva
- Inversa
- Par
- Impar
Les voy a dejar primero unos problemas fáciles para ver que se les ocurre, antes de ver los consejos generales para resolver ecuaciones funcionales en la siguiente parte:
Problema 0.
Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ (se lee como funciones de los reales a los reales) tales que para toda $x,y \in \mathbb{R}$ satisfacen
\[f(x+y)^2=f(x)^2+f(y)^2\]
Problema 1.
Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R}-\{0\} \mapsto \mathbb{R}-\{0\}$ que satisfacen para toda $x \in \mathbb{R}-\{0\}$ la siguiente ecuación
\[xf(x)+2xf(-x)=-1\]
Problema 2.
Una función $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ satisface las siguientes condiciones:
$f(mn)=f(m)f(n)$, para todos $m,n \in \mathbb{N}$, con $(m,n)=1$
$f(p+q)=f(p)+f(q)$, para $p,q$ números primos no necesariamente distintos
Muestre que $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(1999)=1999$
Problema 3.
Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que para toda $x,y \in \mathbb{R}$ satisfacen
\[f(x)f(y)=f(x+y)+xy\]
Problema 3.
Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que para toda $x,y \in \mathbb{R}$ satisfacen
\[f(x)f(y)=f(x+y)+xy\]
SPOILER:
ResponderBorrarEl problem 0 está medio aburrido si permites todos los reales, ya que $f(0) = 0$ y $0 = f(x-x)^2 = f(x)^2 + f(-x)^2 >= 0. Por lo tanto f(x) = 0$ para toda $x$. Si sólo permites reales nonegativos entonces se vuelve más interesante, ya que hay que demostrar $f(x) = (\sqrt{x})f(1)$. Aunque la demostración que se me ocurrió usa que los racionales son densos en los reales, así que esta quizás muy difícil para intro.
Por eso es problema 0 jeje
ResponderBorrar1
ResponderBorrarTomamos una función $f(x)$ que cumpla, tomamos una x positiva cualquiera y su negativo: $xf(x)+2xf(-x)=-1, -xf(-x)-2xf(x)=-1$
$\Rightarrow (xf(x)+2xf(-x))+(-xf(-x)-2xf(x))=-2=2(xf(x)+2xf(-x))$
$\Rightarrow -xf(x)+xf(-x)=2xf(x)+4xf(-x)$
$\Rightarrow 0=3xf(x)+3xf(-x)=3x(f(x)+f(-x))$ como $x\not= 0$,
$\Rightarrow 0=f(x)+f(-x) \Rightarrow -f(x)=f(-x)$. Sustituimos en la ecuación:
$xf(x)+2x(-f(x))=-1 \Rightarrow -xf(x)=-1\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$
Esta función sí cumple: $x\frac{1}{x} +2x\frac{1}{-x}=-1$ y es la única.
2
$f(6)=f(2\times 3)=f(2)f(3), f(6)=f(3+3)=f(3)+f(3)=2f(3)\Rightarrow f(2)=2$
$f(12)=f(5+7)=f(5)+f(5+2)=(f(5))+(f(5)+f(2))=2(f(2)+f(3))+f(2)=3f(2)+2f(3)=6+2f(3)$
$f(12)=f(4\times 3)=f(2+2)f(3)=(2f(2))f(3)=4f(3)$
$ \Rightarrow 6+2f(3)=4f(3) \Rightarrow f(3)=3$
$f(7)=f(5)+f(2)=(f(2)+f(3))+f(2)=7$
$f(14)=f(2)f(7)=14, f(14)=f(11)+f(3)= f(11)+3 \Rightarrow f(11)=11$
$f(13)=f(11)+f(2)=13$
$f(2002)=f(2\times 7)f(11\times 13)=(f(2)f(7))(f(11)f(13))=2002, f(2002)=f(3)+f(1999)=3+f(1999)\Rightarrow f(1999)=1999$
$\therefore f(2)=2,f(3)=3,f(1999)=1999$
3
Cumple para todos los reales, en particular para x,0: $f(x)f(0)=f(x)\Rightarrow f(0)=1$ (tomamos una $x$ tal que $f(x)\not= 0$; si no hubiera para cualquier pareja de $x,y\not= 0$, $0=f(x)f(y)=f(x+y)+xy=xy$ y eso no es cierto).
También para 1,-1: $f(1)f(-1)=f(0)-1=0$ entonces $f(1)=0$ o $f(-1)=0$.
-Si $f(1)=0\Rightarrow 0=f(x-1)f(1)=f(x)+x-1\Rightarrow f(x)=1-x$
-Si $f(-1)=0\Rightarrow 0=f(x+1)f(-1)=f(x)-x-1 \Rightarrow f(x)=1+x$
Y ambas funciones cumplen: $(1-x)(1-y)=1-x-y+xy, (1+x)(1+y)=1+x+y+xy$
$\therefore$ Solo $f(x)=1+x$ y $f(x)1-x$ cumplen.