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miércoles, 25 de septiembre de 2013

Problema del Jueves Geometria
Sea ABC un triángulo tal que AB<AC y el ángulo BAC es el doble del ángulo BCA. Sobre el lado AC se toma un punto D tal que CD=AB. Por el punto B se traza una recta lparalela a AC. La bisectriz exterior del ángulo en A intersecta a l en el punto M, y la paralela a AB por C intersecta a l en el punto N. Prueba queMD=DN.MD=DN
Publicado por Unknown en 9/25/2013 10:39:00 p.m.

8 comentarios:

  1. Unknown26 de septiembre de 2013, 6:32 p.m.

    Sea ∠BAC=2∠ACB=2α. Por alternos internos ∠BAC=∠ABM=2α. AM es la bisectriz externa de ∠BAC⇒∠MAB=180−2α2=90−α. Por suma de ángulos internos en △ABM tenemos que ∠AMB=180−(90−α)−2α=90−α=∠MAB⇒△BMA es isósceles con MB=BA pero BA=DC\RigtarrowDC=MB y sabemos que MB∥DC\RightarrowMDCB es un paralelogramo.
    AB∥NC,BN∥AC, entonces ABNC es un paralelogramo, entonces AB=NC pero AB=DC\RightarrowDC=NC⇒∠CDN=∠CND.
    ∠ABN=180−∠ABM=180−2α=∠ACN, entonces por suma de ángulos internos de △DCN,∠CDN+∠CND=180−∠DCN=180−(180−2α)=2α pero ∠CND=∠CDN⇒∠CND=α.
    Como ABNC es paralelogramo, ∠BAC=∠BNC=2α⇒∠DNM=∠CNB−∠DNC=2α−α=α=∠NMD⇒△MDN es isósceles,
    ∴MD=DNQ.E.D

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    1. Unknown26 de septiembre de 2013, 9:32 p.m.

      Bueno la lei sin latex y pues se veia igual a la mia entonces creo que esta bien

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  2. Unknown26 de septiembre de 2013, 8:16 p.m.

    tengo un problema no puedo ver nd hahaa se supone que ya sirve?

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  3. Luis Chacón26 de septiembre de 2013, 8:36 p.m.

    Defino <BCA=a, entonces <BAC=2a.
    Como MA es bisectriz externa, <MAB=90-a.
    Como MB||AC, <MBA=<BAC=2a.
    <BMA=180-<MBA-<MAB=180-2a-90+a=90-a=<MAB; entonces MAB es isósceles con MB=BA.
    Como MB=DC y MB||DC, MDCB es un paralelogramo, entonces <BMD=<DCB=a.
    AB||CN y AC||BN, entonces ACNB es un paralelogramo por lo tanto CN=AB=DC, <ACN=<ABN=180-<MBA=180-2a y <BNC=<BAC=2a.
    Como DC=CN, DCN es isósceles, y como <DCN=180-2a entonces <DNC=a.
    <BND=<BNC-<DNC=2a-a=a.
    <DMN=<DNM=a, entonces MDN es isósceles y MD=DN

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    1. Unknown26 de septiembre de 2013, 9:31 p.m.

      tu solucion es chidilla no me habia fijado que asi tambien sale

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  4. Luis Carlos García30 de septiembre de 2013, 12:28 a.m.

    Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  5. Pepe Flores1 de octubre de 2013, 6:11 p.m.

    Llamamos al ángulo <BCA=a y <BAC=2a. AC es paralela a BM. Por ángulos entre paralelas, <BAC=<ABM=2a. <BAM=90-a por ser bisectriz externa.
    180=<BMA+<BAM+<ABM=90-a+2a+<BMA
    Entonces <BMA=90-a y por lo tanto AB=BM=CD
    Entonces al ser BM=CD y ser paralelos, CB=DM porque DMBC es un paralelogramo
    Por otro lado tenemos que ACNB es un paralelogramo por como dice el problema.
    Entonces CN=DC=AB.
    Trazamos la línea CB y al punto donde se intersecta con DN lo llamamos K
    Como es un paralelogramo, <NBA=<NCA=180-2a.
    Sabemos que NCD es isosceles por CD=CN
    Entonces <CND=<CDN=a
    Por ángulos alternos internos tenemos que <CDN=<DNB=a y que <DCB=<CBN
    Entonces tenemos 2 triángulos isosceles opuestos por el vértice los cuales son NKB y DKC
    Como CK=DK y NK=BK, CK+KB=DK+KN
    Entonces DN=BC pero ya teníamos que DM=BC
    Por lo tanto DM=DN

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  6. antonio lopez2 de octubre de 2013, 4:49 p.m.

    a <ACB=x, y <BAC=2x, como AB es paralela a CN y BN es paralela a AC entonces ABNC s paralelogramo y de ahi dos cosas:AB=CN=CD, y <BNC=2x. Como CD=CN entonces <CDN=<CND=<BND, entonces <BND=<BNC/2=x.Ahora, como AM es bisectriz externa entonces <BMA=90-x y como MB es paralela a AC se obtiene que <MBA=2x y por suma de angulos en triangulo MBA el angulo MAB es 90-x, entonces BM=BA=CD, y como CD=MB y estas dos rectas son paralelas, MBCD es paralelogramo, entonces <DMB=x, ahi concluyo que los angulos DMN y DNM son iguales por lo que DM=DN

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