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miércoles, 25 de septiembre de 2013
Problema del Jueves Geometria
SeaABC un triángulo tal que AB<AC y el ángulo BAC es el doble del ángulo BCA . Sobre el lado AC se toma un punto D tal que CD=AB . Por el punto B se traza una recta l paralela a AC . La bisectriz exterior del ángulo en A intersecta a l en el punto M , y la paralela a AB por C intersecta a l en el punto N . Prueba queMD=DN .MD=DN
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Sea $\angle{BAC}=2\angle{ACB}=2\alpha$. Por alternos internos $\angle{BAC}=\angle{ABM}=2\alpha$. $AM$ es la bisectriz externa de $\angle{BAC}\Rightarrow\angle{MAB}=\frac{180-2\alpha}{2}=90-\alpha$. Por suma de ángulos internos en $\triangle{ABM}$ tenemos que $\angle{AMB}=180-(90-\alpha)-2\alpha=90-\alpha=\angle{MAB}\Rightarrow\triangle{BMA}$ es isósceles con $MB=BA$ pero $BA=DC\RigtarrowDC=MB$ y sabemos que $MB\parallel{DC}\RightarrowMDCB$ es un paralelogramo.
ResponderBorrar$AB\parallel{NC}, BN\parallel{AC}$, entonces $ABNC$ es un paralelogramo, entonces $AB=NC$ pero $AB=DC\RightarrowDC=NC\Rightarrow\angle{CDN}=\angle{CND}$.
$\angle{ABN}=180-\angle{ABM}=180-2\alpha=\angle{ACN}$, entonces por suma de ángulos internos de $\triangle{DCN},\angle{CDN}+\angle{CND}=180-\angle{DCN}=180-(180-2\alpha)=2\alpha$ pero $\angle{CND}=\angle{CDN}\Rightarrow\angle{CND}=\alpha$.
Como $ABNC$ es paralelogramo, $\angle{BAC}=\angle{BNC}=2\alpha\Rightarrow\angle{DNM}=\angle{CNB}-\angle{DNC}=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle{NMD}\Rightarrow\triangle{MDN}$ es isósceles,
$\therefore \boxed{MD=DN} Q.E.D$
Bueno la lei sin latex y pues se veia igual a la mia entonces creo que esta bien
Borrartengo un problema no puedo ver nd hahaa se supone que ya sirve?
ResponderBorrarDefino <BCA=a, entonces <BAC=2a.
ResponderBorrarComo MA es bisectriz externa, <MAB=90-a.
Como MB||AC, <MBA=<BAC=2a.
<BMA=180-<MBA-<MAB=180-2a-90+a=90-a=<MAB; entonces MAB es isósceles con MB=BA.
Como MB=DC y MB||DC, MDCB es un paralelogramo, entonces <BMD=<DCB=a.
AB||CN y AC||BN, entonces ACNB es un paralelogramo por lo tanto CN=AB=DC, <ACN=<ABN=180-<MBA=180-2a y <BNC=<BAC=2a.
Como DC=CN, DCN es isósceles, y como <DCN=180-2a entonces <DNC=a.
<BND=<BNC-<DNC=2a-a=a.
<DMN=<DNM=a, entonces MDN es isósceles y MD=DN
tu solucion es chidilla no me habia fijado que asi tambien sale
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ResponderBorrarLlamamos al ángulo <BCA=a y <BAC=2a. AC es paralela a BM. Por ángulos entre paralelas, <BAC=<ABM=2a. <BAM=90-a por ser bisectriz externa.
ResponderBorrar180=<BMA+<BAM+<ABM=90-a+2a+<BMA
Entonces <BMA=90-a y por lo tanto AB=BM=CD
Entonces al ser BM=CD y ser paralelos, CB=DM porque DMBC es un paralelogramo
Por otro lado tenemos que ACNB es un paralelogramo por como dice el problema.
Entonces CN=DC=AB.
Trazamos la línea CB y al punto donde se intersecta con DN lo llamamos K
Como es un paralelogramo, <NBA=<NCA=180-2a.
Sabemos que NCD es isosceles por CD=CN
Entonces <CND=<CDN=a
Por ángulos alternos internos tenemos que <CDN=<DNB=a y que <DCB=<CBN
Entonces tenemos 2 triángulos isosceles opuestos por el vértice los cuales son NKB y DKC
Como CK=DK y NK=BK, CK+KB=DK+KN
Entonces DN=BC pero ya teníamos que DM=BC
Por lo tanto DM=DN
a <ACB=x, y <BAC=2x, como AB es paralela a CN y BN es paralela a AC entonces ABNC s paralelogramo y de ahi dos cosas:AB=CN=CD, y <BNC=2x. Como CD=CN entonces <CDN=<CND=<BND, entonces <BND=<BNC/2=x.Ahora, como AM es bisectriz externa entonces <BMA=90-x y como MB es paralela a AC se obtiene que <MBA=2x y por suma de angulos en triangulo MBA el angulo MAB es 90-x, entonces BM=BA=CD, y como CD=MB y estas dos rectas son paralelas, MBCD es paralelogramo, entonces <DMB=x, ahi concluyo que los angulos DMN y DNM son iguales por lo que DM=DN
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