Se tardaron un buen rato en poner soluciones para el de la cuadrícula de n x n por eso me tarde en poner otro. Ya puse uno de combinatoria y uno de geometría así que hoy toca de números.
Este el el problema B1 del Putnam 2009 (examen fue el 5 de diciembre):
Demuestra que puedes escribir todo número racional como la división de productos de facoriales de primos. Ejemplo: 10/9 = (2! 5!) / (3! 3! 3!).
Lo chafa es que nomas daniel y yo los hemos estado resolviendo, se supone que los que repiten (ALBERTO YA RAPATE) deberian hacerlos jeje
ResponderBorrarsi es cierto.. sobre todo alberto que al parecer es el unico k esta libre en estos momentos (karina esta en los entrenamientos y luis tiene los semestrales de la prepa) de iwal forma intentenlos todos.. estan muy padres...
ResponderBorrarMmmm, no estoy seguro de mi solucion porque siento que no hice nada jajaja
ResponderBorrar*** SPOILER ***
Primero demostrare que se cumple para todos los naturales.
Hagamoslo por induccion fuerte.
Algunos casos base:
1= 2!/2!
2= (2!2!)/2!
3=3!/2!
Hipotesis:
Supongamos que para k<=n se cumple que se pueden escribir como la división de productos de factoriales de primos.
Paso inductivo:
Ahora demostremos que se puede para n+1
Si n+1 es primo entonces lo escribimos como (n+1)!/n!, y escribimos n! como n(n-1)(n-2)..(2)(1). Por hipotesis de induccion sabemos que se puede para k<=n entonces cada una de 1,2,3,...,n los cambiamos por divisiones de productos de factoriales de primos.
Si n+1 es compuesto, lo escribimos como producto de sus primos, como esos primos son menores que n+1, entonces por hipotesis de induccion los podemos cambiar.
Y asi completamos la induccion.
Ahora demostremos que se puede para los racionales.
Todo racional se puede escribir como p/q, entonces cambiamos p y cambiamos q.QED
*** END OF SPOILER ***
lol, ya me di cuenta que mi solucion es correcta, cheque en mathlinks y una de las soluciones de ahi es identica a la mia xD
ResponderBorrars.p.d.g. (p,q)=1
ResponderBorrarp,q enteros
q distinto de cero
bien isai!
Si, yo solucioné casi igual que tú. Está bastante fácil.
ResponderBorrarde hecho es irrelevante lo que valga mcd(p,q)
ResponderBorrary si me referia a p y q naturales, si no, no se podrian cambiar jeje
pero bueno, si estaba muy facil jeje