Ahora yo quiero poner un problema.
Agarré el libro de desigualdades y seleccioné un problema al azar, no se si esta difícil o fácil ya que aun no lo hago.
(Lista Corta Iberoamericana, 2003)
Sean a,b,c números reales positivos muestre que:
(a^3)/(b^2 - bc + c^2) + (b^3)/(c^2 - ca + a^2) + (c^3)/(a^2 - ab + b^2) >= a + b + c
Lo intente como 20 minutos y no me salió. No está tan fácil, porque la cota inferior está grande.
ResponderBorraresta super intenso!!! no me sale!! :@ arrgghhh!! haha tonz sta padre..
ResponderBorrarhha... kike, desarrolle todos los polinomios... no me da algo "bonito"...
intente util, reacomodo y una media.. NO ME DAN NADA
BIEN ISAI!!
a mi tampoco me ha salido :P
ResponderBorraral menos no me sentire tan mal por intentarlo tanto y que no me salga
Oh genial, puse un problema dificil xD jaja, de alguna forma debe de servir muirhead porque esta en la seccion de muirhead lol
ResponderBorrarSi a nadie le sale para el lunes pongo la solucion del libro
ResponderBorrarNo pude encontrar una solucion que no fuera quitar los denominadores y aplicar muirhead, y ya para que alguien mas ponga un problema, los dejo con la solucion del libro:
ResponderBorrar***SPOILER***
Observe que la desigualdad es equivalente a la desigualdad:
a^3(b+c)/(b^3+c^3) + b^3(a+c)/(a^3+c^3) + c^3(b+a)/(b^3+a^3) >= a+b+c
Lo que a su vez es equivalente a:
a^3(b+c)(a^3+c^3)(a^3+b^3) +
b^3(a+c)(b^3+c^3)(b^3+a^3) +
c^3(b+a)(c^3+a^3)(c^3+b^3) >=
(a+b+c)(a^3+c^3)(a^3+b^3)(b^3+c^3)
LA ultima desigualdad puede ser escrita en la terminología de Muirhead como:
[9,1,0]+[6,4,0]+[6,3,1]+[4,3,3]>=
((1/2)[1,0,0])([6,3,0]+(1/3)[3,3,3])= [7,3,0] + [6,4,0] + [6,3,1] + [4,3,3]
<->
[9,1,0]>=[7,3,0]
lo cual sigue del teorema de muirhead.
***END OF SPOILER***
Nota:
Teorema de muirhead
sean
a1>=a2>=a3>=...>=an
b1>=b2>=b3>=...>=bn
Cuando se tiene que:
a1<=b1
a1+a2<=b1+b2
a1+a2+a3<=b1+b2+b3
...
a1+a2+...+an=b1+b2+...+bn (La ultima igualdad es importante)
Se dice que la secuencia b1,b2,...,bn mayoriza a la secuencia a1,a2,...,an
Entonces el teorema dice que:
(sum sym)x^b1*x^b2*...*x^bn >= (sum sym)x^a1*x^a2*...*x^an
si y solo si
b1,b2,...,bn mayoriza a la secuencia a1,a2,...,an
Correcion:
ResponderBorrarquize decir
(sum sym)x1^b1*x2^b2*...*xn^bn >= (sum sym)x1^a1*x1^a2*...*xn^an
por fin la solucion.. pero me kede casi iwal.. :s .. es k no se muirhead... aki encontre una explicacion casi iwal a la de isai del teorema de muirhead.. o al menos creo k es eso, le capte mas a esta:
ResponderBorrarConsideremos los símbolos [5,0,0], [3,1,1], [4,1,0] todos los con la misma
suma y formados por tres números decrecientes. Decimos que un símbolo
[i2, j2 , k2] mayora a otro símbolo [i1, j1 , k1 ] si
1. i2 >= i1,
2. i2 + j2 >= i1 + j1 .
Escribiremos [i2, j2 , k2 ] >= [i1, j1 , k1 ]. En nuestro ejemplo tenemos que
[5, 0, 0] >= [4, 1, 0] >= [3, 1, 1].
El teorema de Muirhead dice que un símbolo mayora a otro si y solo si la desigualdad correspondiente se cumple para todos los valores positivos de
las variables y que la iguadad se cumple si y solo si las variables son todas
iguales.
Correcion2:
ResponderBorrarquize decir
(sum sym)x1^b1*x2^b2*...*xn^bn >= (sum sym)x1^a1*x2^a2*...*xn^an
FELIZ NOCHE BUENA
ResponderBorrarFELIZ NAVIDAD!!
pasensela muy bien en compañia de su familia y seres queridos.
feliz navidad a ti tambien daniel :)
ResponderBorrary a todos :P
Feliz Navidad!!!
ResponderBorrarentonces a nadie le salio este problema? bueno...
ResponderBorrarotro kike?
Si, pon otro kike, necesito con que entretenerme jeje (se que podria hacer problemas por mi cuenta, pero es mas divertido hacer un problema que te piden que hagas jeje)
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