Trabajo en el Blog - Semana 1

Aqui esta el resumen de las participaciones del blog hasta ahorita

Nombre	Apellidos	24/ago	25/ago	29/ago	30/ago	31/ago	1-Sep
Alberto	Astiazaran Tobin	:)	:)	:)	:)	:)	I
Alberto Javier	Ponce Gonzalez	:)	C	I	C	I	C
Jesús José	García Pardo	:)	:)	:)	C	:)	C
Uriel Alejandro	Reyes Luevano	:)	:)	C	:)	C	I
Luis Enrique	Chacón Ochoa	:)	:)	:)	:)	:)	C
Leonardo Isaac	Gutierrez Sierra	:)	I	:)	C	I	I
Luis Carlos	García Ramos	:)	C	C	C	I	I
Héctor Alan	Salcido García	:)	:)	C	C	:)	C
Santos Armando	Castillo Márquez	:)	:)	C	:)	C	C
Missael	Hernández Verdugo	I	I	C	I	I	I
Fabian	Rangel Domínguez	:)	:)	I	I	I	I
Jorge Irving	Hernández García	:)	C	I	I	I	I
Antonio	López Guzmán	:)	C	C	C	:)	I
Martín	Contreras Carrera	:)	C	C	C	N	N
Omar Alejandro	Padilla Cordova	:)	:)	C	C	:)	C
Ricardo	García Ramírez	:)	C	C	:)	I	I
María Carolina	López Martínez	I	I	I	I	I	I

:)=C=Participación Chida
N= No chida
I = Inexistente
Nombre en itálica = repetidor (que ya ha participado antes)

Muy buena participación por parte de la mayoría, excepto uno que otro que parece que no le cae el veinte. De hecho es interesante que la mayoría de las I's son de gente que esta repitiendo, cuando ustedes los repetidores son los que deberían poner el ejemplo a los demás. No tenemos miedo en darle el lugar de alguien que lleva mas de un año en la olimpiada a alguien que si quiere trabajar y hacer un buen papel.

Les recordamos que el blog, va a contar. Si se toman el trabajo olímpico a la ligera, nosotros tambien los vamos a considerar a la ligera. La única forma en que un olímpico puede ser exitoso es con el trabajo constante.

Si tienen problemas con el uso de internet es su deber arreglarlo y reportarlo al comité. Además quizás hace 10 años les creeriamos que no pueden acceder a internet, pero en estas épocas esa excusa es bastante dificil de creer.

Les recuerdo que es su responsabilidad mostrar evidencia de que trabajaron. Si trabajan y no muestran sus ideas o sus apuntes, o la solución, no podemos leer mentes y adivinar quien si trabajó y quien no.

Si encuentran algun error, o no estan de acuerdo con algo que se les puso (no necesariamente de ustedes, puede ser de alguien mas), estan en su derecho de reclamar, pero lo tendrán que hacer con muy buenos argumentos y a mi correo (ivazquez@ommch.org)

Fuera de eso la mayoría trabajó muy bien en el blog, !felicidades a todos aquellos que estan trabajando constamente!

Problema del día, geometría (01 de Septiembre).

Sean $M$ y $N$ puntos en los lados $AB$ y $BC$, respectivamente, del paralelogramo $ABCD$ tales que $AM=NC$. Sea $Q$ el punto de intersección de $AN$ y $CM$. Demuestra que $DQ$ es bisectriz del angulo $CDA$.

Problema del día. Algebra.

Muestre que para cualquier entero positivo, la parte no entera de $\sqrt{4n^{2}+n}$ es menor que $\frac{1}{4}$.

Trabajo en el Blog - Como se va a tomar en cuenta

Una participación chida será aquella que cumpla lo siguiente:

• Intento significativo con ideas interesantes, que pueden estar bien o mal, pero es obvio que trabajó en tiempo.

Una participación no chida será aquella que:

• Comento lo primero que se me ocurrió para comentar algo
• Fuera de tiempo (Se considerará fuera de tiempo si se hace después de 3 días de publicado el problema)
• Solo ha preguntado dudas de la redacción sin intentarlo.

Una participación inexistente será cuando no hay comentario.

Además una solución completa recibirá una carita feliz, que no tiene valor más que el derecho de presumir que tuvieron una solución completa. A una persona en un problema se le dará carita feliz solo si tuvo una participación chida en ese problema. Es decir, puede que en su participación chida no tuvo la solución completa, pero después trabajó sobre lo que estaba mal y obtuvo una solución completa.

El objetivo de cada día será obtener una participación chida, que es lo que vamos a tomar en cuenta. Pero su objetivo personal debe ser sacarle todo el provecho posible a todos los problemas. Si no les sale y estuvieron buen rato intentándolo, intenten aprender de las ideas de los demás. Si tuvieron errores, vean porque lo que escribieron está mal y trabajen para no cometer el mismo error. Además no se conformen con los problemas que les ponemos, hay un montón de problemas en internet que pueden intentar y además pueden pedirnos más. 

Problema de combinatoria (30/ago/11)

Si se tiene una baraja la cual solo contiene numeros del 1 al 10 (sin J, Q o K) de las 4 figuras convencionales, y se juega al poker de tres cartas (Es decir se reparten manos de 3 cartas en vez de 5)

a) Cuantas manos distintas existen que contengan exactamente un par?

b) Que es mas dificil que salga, una tercia (3 numeros iguales), una corrida (3 cartas consecutivas sin importar el la figura) o una flor (3 cartas de la misma figura)?

Problema del día, Teoría de números (29 de Agosto)

Demostrar que no existe ninguna pareja de primos $p,q$ con $p$ menor a $q$, de tal manera que $p^2+pq+6q-1$ sea múltiplo de $pq$

Trabajo en el Blog - Semana 0

Hubo muy buena participación por parte de todos, muy bien.
Las personas que no dieron ni sus luces son:

Problema del 24 de Agosto:
Missael Hernández Verdugo
María Carolina López Martínez


Problema del 25 de Agosto:
Leonardo Isaac Gutierrez Sierra
Missael Hernández Verdugo
María Carolina López Martínez


Durante la semana pondré las reglas del trabajo en el blog, basicamente se trata acerca de trabajar todos los días.

Algunas cosas que deben saber del blog

1.- El uso de simbolos de "menor que" y "mayor que" (notese la palabra y) provoca errores que hace que se borren partes de los comentarios.
2.- No hay comentario = no trabajó, aunque si hayan trabajado.
3.- LaTeX tiene problemas con Internet Explorer, por lo que si ven simbolos raros en vez de formulas bonitas es porque su navegador no soporta LaTeX, recomendado usar Firefox o Chrome
4.- Solo pueden comentar con cuenta.

Problema del día, geometría (25 de Agosto).

Sea $C$ el punto de tangencia de la circunferencia $X$ y la recta $l$, y sea $AB$ un diámetro de $X$. Sea $N$ el pie de la perpendicular de $C$ sobre $AB$. Por un punto $F$ en el segmento $CN$, se traza la paralela a $CB$ que corta a $l$ en $E$ y a $CA$ en $G$. Demuestra que $EG=GF$

Un problema sobre ninis. Problema del dia, algebra.

Suponga que se acaba de aprobar una ley de "jubilación" de ninis (jóvenes que ni estudian ni trabajan). Básicamente, la regla para la "jubilación" es que el joven nini recibirá una pensión estatal de tres salarios mínimos de por vida si sigue siendo joven (menos de 30) y su edad más los años que se ha mantenido nini (sin estudiar ni trabajar) es al menos 41 años. Calcular la edad en que un adolescente de 19 años logrará la pensión si tiene 4 años de nini.

Problema del Día (15 de Agosto)

Se tienen enteros $x,y,z$ tales que $x^3+y^3-z^3$ es múltiplo de $7$. Demostrar que al menos uno de $x,y,z$ es multiplo de $7$.

Problemas del taller del 12 de Agosto

1.- Encontrar el menor número tal que la suma de sus digitos es un primo al cubo mas uno, y el producto de sus dígitos es el mismo primo a la sexta potencia.

2.- En  un cuadrado $ABCD$, sobre la diagonal de $BD$ se tiene el punto $E$, de tal forma que $DE=2BE$. Se traza una circunferencia tangente en el punto $E$ de tal forma que el centro $O$ de la circunferencia se encuentra sobre la prolongación del lado $AD$ por $A$. Se Demuestre que:
a)$EF=OD$
b)$OB \times EG=DE^2$

3.- Sean $ABC$ un triángulo y $AD$ la altura sobre el lado $BC$. Tomando a $D$ como centro y a $AD$ como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta $AB$ en $P$, y corta a la recta $AC$ en $Q$. Muestra que el triángulo $AQP$ es semejante al triángulo $ABC$.

4.-En una cuadricula de $100 \times 100$ se tiene una ficha en la esquina superior izquierda. En un movimiento la ficha se puede mover a cualquiera de los cuadros adyacentes (dos cuadros son adyacentes si comparten un lado). En el primer turno muevo la ficha una vez, en el segundo turno muevo la ficha dos veces, en el tercero tres veces ... en el $n$-simo turno muevo la ficha $n$ veces. Mi objetivo es que la ficha llegue a la esquina inferior derecha.
Decide si se puede para
a)$n=2008$
b)$n=2009$
c)$n=2010$
¿Para cuales $n$ se puede?

5.- Demostrar que no existen parejas de enteros $(x,y)$ tales que:
$$15x^2-7y^2=9$$

Problema del día (9 de Agosto)

En un trapecio $ABCD$ ($AB$ paralelo a $DC$) sea $AB = a$ y $DC = b$. Sean $M, N, P$ y $Q$ los puntos medios de $AD, BD, AC$ y $BC$ repectivamente. Demuestra que
a)  $MQ = \frac{|a+b|}{2}$
b) $NP = \frac{|a-b|}{2}$

Problema del Día (8 de Agosto)

51 insectos son colocados adentro de un cuadrado de lado 1. Probar que en cualquier momento, habrá al menos 3 insectos que pueden ser cubiertos con un disco de radio 1/7.

Problema del Día (3 de Agosto)

Se tiene una cuadricula de $m \times n$. La esquina inferior izquierda se llama $A$, y la esquina superior derecha se llama $B$. Te puedes mover hacia arriba y hacia la derecha por los lados de los cuadrados. ¿Cuántos caminos hay de $A$ a $B$?

Problema del día (2 de Agosto)

La circunferencia circunscrita de un decágono regular tiene radio 1. ¿Cuanto mide el lado del decágono?

Problema del Día (31 de Julio)

¿Para cuántos enteros $a$ del $1$ al $1000000$ se tiene que $2^a-a^2$ es múltiplo de 5?

Problema del día.

Demuestra que en un conjunto de diez números distintos de dos dígitos, siempre es posible encontrar dos subconjuntos disjuntos tales que la suma de sus elementos es la misma.

Ejemplo:

A={10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}

B={17,18}; C={16,19} aquí, la suma de los elementos de B es 17+18=35, y la de C es 16+19=35, entonces los subconjuntos B y C cumplen.

Problema del Día (24 de Julio)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que las líneas $AB$ y $DC$ se intersectan en un punto $Q$ y las líneas $DA$ y $CB$ se intersectan en un punto $P$. Demuestra que las bisectrices de los ángulos $\angle DPC$ y $\angle AQD$ son perpendiculares.

Problema del Día (22 de Julio) y Problemas de Algebra

Vuelve otra vez el problema del día, ahora tiene como proposito preparar a los concursantes para el examen estatal.

Probar que si $a,b,c$ y $n$ son enteros cualquiera con $n>3$ entonces hay un entero $k$ tal que ninguno de los enteros $k+a,k+b,k+c$ es divisible por $n$.

Además les dejo un documento con algunos problemas fáciles de Álgebra.

Problemas de Álgebra

Teoría básica.

Suma de los primeros $n$ naturales consecutivos:

$1+2+3+...+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Suma de los primeros $n$ naturales pares:

$2+4+6+...+(2n-2)+(2n)=n(n+1)$

Suma de los primeros $n$ naturales impares:

$1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}$

Material de entrenamiento regional.

Si quieres preparate para el concurso visita éstas ligas:
Para calentar: http://ichi.fismat.umich.mx/omm/recursos/canguro/previos/
Más problemas fáciles: http://ommch.blogspot.com/2010/06/problema-del-dia-para-principiantes-y.html
Regionales pasados: http://dl.dropbox.com/u/13306569/ExamenesRegionales.zip

Los esperamos!!

El examen es el sabado 18 junio, a las 9:30am,

PrepaTec en el ITESM Campus Chihuahua(Sede Chihuahua) Edificio de prepa. IIT de la UACJ(Sede Cd. Juarez) Edificio G. Duracion del examen: 4 horas y media

Olimpiada Regional de Matemáticas

A todos los alumnos de Secundaria y Preparatoria (4to semestre para abajo) los esperamos este Sábado 18 de Junio a la Olimpiada Regional de Matemáticas en Chihuahua 2011 a las 9:30 a.m.

Sede Cd. Juárez: Instituto de Ingeniería y Tecnología de la UACJ.
Sede Chihuahua: PrepaTec del ITESM Campus Chihuahua

Si quieres prepararte para el concurso te recomendamos que visites las siguientes páginas:

Para calentar: http://ichi.fismat.umich.mx/omm/recursos/canguro/previos/
Más problemas fáciles: http://ommch.blogspot.com/2010/06/problema-del-dia-para-principiantes-y.html
Regionales pasados: http://dl.dropbox.com/u/13306569/ExamenesRegionales.zip

CONVOCATORIA OLIMPIADA ESTATAL DE MATEMATICAS 2011

La Sociedad Matemática Mexicana y la Universidad Autónoma de Ciudad Juárez, invitan a participar en la Olimpiada Estatal de Matemáticas 2011 a celebrarse el domingo 21 de agosto bajo las siguientes

BASES:

CONCURSANTES:

Podrán concursar en el evento, todos los estudiantes mexicanos inscritos en alguna escuela preparatoria o secundaria del Estado de Chihuahua nacidos después del 1o de Agosto de 1992.

PARTICIPANTES POR ESCUELA:

El número máximo de concursantes por escuela está dado por la siguiente guía:

• Si el alumnado total de la escuela es menor o igual que 100, el número máximo de alumnos que podrán participar es de 3, siendo 1 de 1er año, 1 de 2o año y 1 de 3er año en el caso de que la escuela sea una preparatoria o 3 de cualquier grado en el caso de ser de Secundaria.

• Si el alumnado total de la escuela es entre 100 y 600, el número máximo de alumnos que podrán participar es de 6, siendo 2 de 1er año, 2 de 2o año y 2 de 3er año en el caso de que la escuela sea una preparatoria o 6 de cualquier grado en el caso de ser de Secundaria.

• Si el alumnado total de la escuela es mayor que 600, el número máximo de alumnos que podrán participar es de 12, siendo 4 de 1er año, 4 de 2o año y 4 de 3er año en el caso de que la escuela sea una preparatoria o 12 de cualquier grado en el caso de ser de Secundaria.

PROCESO DE INSCRIPCION:

Cada escuela deberá escoger su selección y nombrar un maestro responsable quien será el encargado de inscribir a los alumnos participantes de la misma. Esta inscripción se podrá hacer por cualquiera de los siguientes 3 medios:

• Por correo electrónico a la dirección: registro@ommch.org con atención al Ing. Ernesto Salgado Armendáriz.

• Por Fax al número 656-6884813 con atención al Prof. Francisco López Hernández, Jefe del Departamento de Ciencias Básicas.

• Por teléfono al número 656-6884887 con el departamento de Ciencias Básicas del Instituto de Ingeniería de la UACJ.

En cualquier caso los datos necesarios son nombre, fecha de nacimiento del alumno, grado, grupo y nombre de la escuela, ciudad y nombre del profesor responsable que está realizando la inscripción.

El periodo de inscripción será a partir de la publicación de la presente convocatoria y hasta el día del evento.

SOBRE EL CONCURSO:

El concurso se llevara a cabo el domingo 21 de Agosto de 2011 a las 9:45AM en las instalaciones del Instituto de Ingeniería y Tecnología de la Universidad Autónoma de Ciudad Juárez.

El examen consistirá de 6 problemas y los alumnos tendrán un tiempo máximo de 4 horas y media para resolverlos. Una vez empezado el examen, ningún alumno podrá salir del mismo durante la primera hora del examen. Después de la 1a hora puedes terminar cuando así lo desees con un límite de 4 horas y media como tiempo total, todos los exámenes serán recogidos a las 2:30PM.

El periodo de gracia para llegar tarde al examen, será de una hora, después las 11AM ningún alumno podrá ingresar para empezar el examen del concurso.

No se permite la utilización de formularios, calculadoras, teléfonos celulares o algún otro aparato electrónico. Si llevas teléfono celular deberás apagarlo COMPLETAMENTE antes de iniciar el examen y bajo ninguna circunstancia se permitirá salir a recibir o realizar llamadas durante el examen.

Los problemas del examen están diseñados de tal manera que básicamente solo se necesita ingenio para resolverlos y prácticamente nada de teoría, así por ejemplo las probabilidades de ganar el concurso son las mismas para un alumno de 2o de Secundaria o de 5o semestre de Preparatoria.

Información y problemas tipo concurso estatal de Olimpiada se pueden encontrar en

http://www.ommch.org/

SOBRE LA PRESELECCION:

Se darán constancias de participación a todos los alumnos que concursaron, diplomas de ganadores y premios a los preseleccionados, así como diplomas a cada escuela que haya tenido al menos algún alumno en la preselección.

Los alumnos preseleccionados serán entrenados en forma gratuita por el comité estatal, así mismo se les proporcionara material de preparación para el nacional de manera completamente gratuita, teniendo que presentarse a los entrenamientos generales, de los cuales se les informara con anticipación.

Se escogerán 24 alumnos que conformaran la preselección del estado de Chihuahua, de donde se escogerán posteriormente los 6 alumnos que representaran al estado en el concurso Nacional a celebrarse en el mes de Noviembre en la ciudad de San Luis Potosí. En el concurso nacional se escogerá la preselección que representara a México en las Olimpiadas Internacional, Iberoamericana y Centroamericana de Matemáticas.

Cualquier punto no previsto en la presente convocatoria será resuelto por el comité organizador.

Ing. Ernesto Salgado Armendáriz

Delegado de la OMM por el estado de Chihuahua

Departamento de Ciencias Básicas, Instituto de Ingeniería y Tecnología UACJ

Septimo examen de entrenamiento

Problema 1.
En la figura siguiente, las circunferencias $C_1$ y $C_2$ se cortan en $A$ y $B$. Una recta por $B$ corta a $C_1$ y $C_2$ en $C$ y $D$, respectivamente; otra recta por $B$ corta a $C_1$ y $C_2$ en $E$ y $F$, respectivamente. La recta $CF$ corta a $C_1$ y $C_2$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $M$ y $N$ los puntos medios de los arcos $BP$ y $QB$ respectivamente. Muestra que si $CD=EF$ entonces $C,F,M,N$ estan sobre una misma circunferencia.


Problema 2.
Los numeros naturales $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ tienen la propiedad de que para $1 \leq i,j \leq n$ con $i \neq j$, $a_j$ es divisible entre $a_j - a_i$. Muestra que para todo par de indices $i < j$ se tiene que, \[ i a_j \leq j a_i \] Problema 3.
Sean $a,b,c$ numeros reales positivos con $a+b+c \geq 6$. Encuentre el valor minimo de la siguiente expresion,
\[ a^2 + b^2 + c^2 + \frac{a}{b^2 +c+1} + \frac{b}{c^2 +a+1} + \frac{c}{a^2 +b+1} \]

Problema 4.
Sea $D$ un punto sobre el lado $BD$ del triangulo acutangulo $ABC$. La circunferencia de diametro $BC$ corta a las rectas $AB$ y $AD$ en $X$ y $P$, respectivamente. La circunferencia de diametro $DC$ corta a las rectas $AD$ y $AC$ en $Q$ y $Y$, respectivamente. Por el punto $A$ se trazan perpendiculares a $PX$ y $QY$ con pies de las perpendiculares $M$ y $N$, respectivamente. Muestra que los triangulos $AMN$ y $ABC$ son semejantes si y solo si la recta $AD$ pasa por el circuncentro de $ABC$.

Sexto examen de entrenamiento

Problema 1.
Encuentre el valor minimo de
\[ \frac{a+b+c}{2} - \frac{[a,b]+[b,c]+[c,a]}{a+b+c}\]
donde $a,b,c$ son enteros mayores a 1, y $[x,y]$ es el minimo comun multiplo de $x,y$.

Problema 2.
Todo cuadrito unitario de una cuadricula de $n \times n$ se ha coloreado con uno de dos colores (rojo y negro) y de manera que entre todos los cuadritos de $2 \times 2$ esten presentes todas las coloraciones de cuadrados $2 \times 2$ (las coloraciones de cuadrados de $2 \times 2$ obtenidas de otra al rotar o al reflejar se consideran diferentes).
$(a)$ Encuentre el menor valor posible para $n$.
$(b)$ Para el menor valor posible $n$, encuentre el menor numero de cuadritos rojos que se van a necesitar para una coloracion como la que se señala.

Problema 3.
Sea $M$ un punto sobre el lado $BC$ del triangulo $ABC$. Una circunferencia $C$ es tangente a $AB$ y $BM$ en $T$ y $K$, respectivamente; y tambien tangente (externamente) al circuncirculo de $AMC$ en $P$. Muestra que si $TK$ es paralelo a $AM$ entonces los circuncirculos de $APT$ y $KPC$ son tangentes.

Problema 4.
Para un numero primo $p$, encuentre el numero de ternas $(a,b,c)$ formadas con numeros del conjunto {1, 2, 3, ..., 2$p^2$} que satisfacen,
\[ \frac{[a,c]+[b,c]}{a+b} = \frac{c( p^2 +1)}{p^2 +2} \]
Aqui, $[x,y]$ es el minimo comun multiplo de $x,y$.

Quinto examen de entrenamiento

Problema 1.
La sucesion de enteros 0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, ... se ha obtenido asi: inicio con 0, luego al numero anterior se sumo 1, despues al numero obtenido se sumo otro 1, luego se sumo 2 y despues de nuevo se sumo 2, despues se suma 3 y asi sucesivamente. Si los terminos de la sucesion son $a_0, a_1, a_2,$ ... entonces,
$a_0 =0$
$a_{2n-1} = a_{2n-2} +n$ y $a_{2n} = a_{2n-1} +n$, para los enteros $n \geq 1$
Encuentra todos los enteros $k \geq 0$ para los que $a_k$ es el cuadrado de un entero.

Problema 2.
Sea $N$ el numero de quintetas ordenadas de enteros positivos $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ que satisfacen,
\[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} = 1 \]
El numero $N$ es par o impar?
Nota: $(1,2,3,4,5) \neq (1,2,3,5,4)$.

Problema 3.
Sean A y B dos circunferencias que se cortan en $P$ y $Q$. La tangente comun a las circunferencias que esta del mismo lado de $P$, corta a A y B en $A$ y $B$ respectivamente. Sea $C$ el segundo punto de interseccion de la circunferencia B con la tangente a la circunferencia A en $P$, y sea $D$ el segundo punto de interseccion de la circunferencia A con la tangente a la circunferencia B en $P$.
Sea $E$ la interseccion de $AP$ con $BC$ y sea $F$ la interseccion de $BP$ con $AD$. Sea $M$ la reflexion de $P$ con respecto al punto medio de $AB$.
Muestra que $AMBEQF$ en un hexagono ciclico.

Problema 4.
Muestra que para todo entero $n \geq 0$, existe una permutacion $(a_0, a_1, ... , a_n)$ de ( 0, 1, ..., $n$) de manera que:
$k+ a_k$ es un cuadrado para toda $k \in$ { 0, 1, ..., $n$}.

Cuarto examen de entrenamiento

Problema 1.
Sea $ABC$ un triangulo y $P$ un punto dentro del triangulo y sobre la mediatriz de $AB$. Sobre los lados $BC$ y $CA$ se construyen externamente los triangulos $CBQ$ y $ACR$, de manera que los triangulos $ABP$, $CBQ$ y $ACR$ sean semejantes. (Los puntos $Q$ y $A$ estan en lados opuestos con respecto a $BC$; y los puntos $R$ y $B$ estan en lados opuestos con respecto a $AC$). Muestra que los puntos $P$, $Q$, $C$ y $R$ son los vertices de un paralelogramo.

Problema 2.
Encuentra el mayor entero no negativo $k$ para el que existe un entero $n$ con la siguiente propiedad:
$n$ es cuadrado perfecto con al menos $k+1$ digitos y para cada $i \textless k$, el entero que se obtiene al quitar los ultimos $i$ digitos a $n$ es un cuadrado perfecto.
(Si $i=1$ se debe quitar el digito de las unidades; si $i=2$ se quitan el digito de las unidades y el digito de las decenas, etc.)

Problema 3:
En el plano se dan 5 segmentos. Se ha comprobado que en 9 de las 10 maneras de elegir 3 segmentos de los 5, se puede formar con los segmentos elegidos un triangulo acutangulo. Muestra que en la decima manera de elegir 3 segmentos de los 5, tambien se puede formar un triangulo con los segmentos elegidos.

Problema 4:
Sobre una recta $l$ hay 3 puntos diferentes $A$, $B$, $P$ en ese orden. Sea $a$ la recta por $A$ perpendicular a $l$ y sea $b$ la recta por $B$ perpendicular a $l$. Una recta por $P$, diferente de $l$, corta a la recta $a$ en $Q$ y corta a la recta $b$ en $R$. La recta por $A$ perpendicular a $BQ$ corta a $BQ$ en $L$ y corta $BR$ en $T$. La recta por $B$ perpendicular a $AR$ corta a $AR$ en $K$ y a $AQ$ en $S$.
$(a)$ Muestra que $P$, $T$, $S$ son colineales.
$(b)$ Muestra que $P$, $K$, $L$ son colineales.