En la figura siguiente, las circunferencias C1 y C2 se cortan en A y B. Una recta por B corta a C1 y C2 en C y D, respectivamente; otra recta por B corta a C1 y C2 en E y F, respectivamente. La recta CF corta a C1 y C2 en P y Q, respectivamente. Sea M y N los puntos medios de los arcos BP y QB respectivamente. Muestra que si CD=EF entonces C,F,M,N estan sobre una misma circunferencia.

Problema 2.
Los numeros naturales a1<a2<⋯<an tienen la propiedad de que para 1≤i,j≤n con i≠j, aj es divisible entre aj−ai. Muestra que para todo par de indices i<j se tiene que, iaj≤jai Problema 3.
Sean a,b,c numeros reales positivos con a+b+c≥6. Encuentre el valor minimo de la siguiente expresion,
a2+b2+c2+ab2+c+1+bc2+a+1+ca2+b+1
Problema 4.
Sea D un punto sobre el lado BD del triangulo acutangulo ABC. La circunferencia de diametro BC corta a las rectas AB y AD en X y P, respectivamente. La circunferencia de diametro DC corta a las rectas AD y AC en Q y Y, respectivamente. Por el punto A se trazan perpendiculares a PX y QY con pies de las perpendiculares M y N, respectivamente. Muestra que los triangulos AMN y ABC son semejantes si y solo si la recta AD pasa por el circuncentro de ABC.
Solucion del 1:
ResponderBorrarPotencia de punto desde C y F:
FP⋅FC=FE⋅FB
CQ⋅CF=CB⋅CD
De ahi sacamos
FCFE=FBFP
CFCD=CBCQ
Como FE=CD
FBFP=CBCQ
Entonces
FBBC=FPCQ
Ahora vemos que CM y FN son bisectrices en el △CFB. Entonces sea I el incentro.
Ahora sea K la interseccion de AB con CF.
Como K esta en el eje radical por potencia de punto
KP⋅KC=KQ⋅KF
KCKF=KQKP
Y como se cumple esta razon
KCKF=KQKP=KC−KQKF−KP=CQPF
Teniamos que
FBBC=FPCQ
BCFB=CQFP
Entonces
KCKF=BCFB
que es la razon del teorema de la bisectriz, por lo tanto BK es bisectriz y pasa por I.
Entonces I esta en el eje radical AB y por potencia de punto
IM⋅IC=IN⋅IF
Por lo tanto CNMF es ciclico.