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sábado, 19 de marzo de 2011

Septimo examen de entrenamiento

Problema 1.
En la figura siguiente, las circunferencias C1 y C2 se cortan en A y B. Una recta por B corta a C1 y C2 en C y D, respectivamente; otra recta por B corta a C1 y C2 en E y F, respectivamente. La recta CF corta a C1 y C2 en P y Q, respectivamente. Sea M y N los puntos medios de los arcos BP y QB respectivamente. Muestra que si CD=EF entonces C,F,M,N estan sobre una misma circunferencia.


Problema 2.
Los numeros naturales a1<a2<<an tienen la propiedad de que para 1i,jn con ij, aj es divisible entre ajai. Muestra que para todo par de indices i<j se tiene que, iajjai Problema 3.
Sean a,b,c numeros reales positivos con a+b+c6. Encuentre el valor minimo de la siguiente expresion,
a2+b2+c2+ab2+c+1+bc2+a+1+ca2+b+1

Problema 4.
Sea D un punto sobre el lado BD del triangulo acutangulo ABC. La circunferencia de diametro BC corta a las rectas AB y AD en X y P, respectivamente. La circunferencia de diametro DC corta a las rectas AD y AC en Q y Y, respectivamente. Por el punto A se trazan perpendiculares a PX y QY con pies de las perpendiculares M y N, respectivamente. Muestra que los triangulos AMN y ABC son semejantes si y solo si la recta AD pasa por el circuncentro de ABC.

1 comentario:

  1. Solucion del 1:

    Potencia de punto desde C y F:
    FPFC=FEFB
    CQCF=CBCD

    De ahi sacamos
    FCFE=FBFP
    CFCD=CBCQ

    Como FE=CD
    FBFP=CBCQ
    Entonces
    FBBC=FPCQ



    Ahora vemos que CM y FN son bisectrices en el CFB. Entonces sea I el incentro.

    Ahora sea K la interseccion de AB con CF.
    Como K esta en el eje radical por potencia de punto
    KPKC=KQKF
    KCKF=KQKP

    Y como se cumple esta razon
    KCKF=KQKP=KCKQKFKP=CQPF

    Teniamos que
    FBBC=FPCQ
    BCFB=CQFP

    Entonces
    KCKF=BCFB
    que es la razon del teorema de la bisectriz, por lo tanto BK es bisectriz y pasa por I.

    Entonces I esta en el eje radical AB y por potencia de punto
    IMIC=INIF
    Por lo tanto CNMF es ciclico.

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