sábado, 19 de marzo de 2011

Sexto examen de entrenamiento

Problema 1.
Encuentre el valor minimo de
\[ \frac{a+b+c}{2} - \frac{[a,b]+[b,c]+[c,a]}{a+b+c}\]
donde $a,b,c$ son enteros mayores a 1, y $[x,y]$ es el minimo comun multiplo de $x,y$.

Problema 2.
Todo cuadrito unitario de una cuadricula de $n \times n$ se ha coloreado con uno de dos colores (rojo y negro) y de manera que entre todos los cuadritos de $2 \times 2$ esten presentes todas las coloraciones de cuadrados $2 \times 2$ (las coloraciones de cuadrados de $2 \times 2$ obtenidas de otra al rotar o al reflejar se consideran diferentes).
$(a)$ Encuentre el menor valor posible para $n$.
$(b)$ Para el menor valor posible $n$, encuentre el menor numero de cuadritos rojos que se van a necesitar para una coloracion como la que se señala.

Problema 3.
Sea $M$ un punto sobre el lado $BC$ del triangulo $ABC$. Una circunferencia $C$ es tangente a $AB$ y $BM$ en $T$ y $K$, respectivamente; y tambien tangente (externamente) al circuncirculo de $AMC$ en $P$. Muestra que si $TK$ es paralelo a $AM$ entonces los circuncirculos de $APT$ y $KPC$ son tangentes.

Problema 4.
Para un numero primo $p$, encuentre el numero de ternas $(a,b,c)$ formadas con numeros del conjunto {1, 2, 3, ..., 2$p^2$} que satisfacen,
\[ \frac{[a,c]+[b,c]}{a+b} = \frac{c( p^2 +1)}{p^2 +2} \]
Aqui, $[x,y]$ es el minimo comun multiplo de $x,y$.

4 comentarios:

  1. Nadie comenta asi que les voy a poner mis soluciones de los 1s:


    Sea $N$ la cosa fea del problema.
    Vemos que $[a,b] \leq ab$, entonces

    $N= \frac{a+b+c}{2} - \frac{[a,b]+[b,c]+[c,a]}{a+b+c} \geq \frac{a+b+c}{2} - \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2(a+b+c)}$

    Hacemos la resta y nos queda eso ^
    Ahora usamos la util:
    $N \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2(a+b+c)} \geq \frac{a+b+c}{6}$

    Para que la igualdad se de los 3 numeros deben ser primos relativos dos a dos, e iguales, que solo se puede cuando son uno, pero $a+b+c \geq 6$ entonces es mayor estricto.

    Despues de esto es pura talacha, hacemos cuando $(a,b,c)=(2,2,3)$
    $N= \frac{3}{2}$

    Queremos encontrar otro caso en que $N < \frac{3}{2}$

    Entonces
    $\frac{a+b+c}{6} < \frac{3}{2}$
    $a+b+c < 9$

    La suma es 6, 7 o 8, entonces quedan los casos (2,2,2), (2,3,3) y (2,4,4). Haces la operacion y es mayor a tres medios.

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  2. Correccion, los casos al final son (2,2,2), (2,3,3) y (2,2,4).

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  3. Al fin un comentario despues de 5 dias XD
    Gracias. Cuando lo estaba haciendo se me olvido que eran mayores a uno, asi que dije que cuando eran uno era el menor valor. Luego pense que no queria que me pase que leia mal el problema y valia todo, asi que lo lei y vi eso y luego ya lo hice bien jeje.

    Tu ya intentaste alguno?

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