Sexto examen de entrenamiento

Problema 1.
Encuentre el valor minimo de
$$\frac{a+b+c}{2} - \frac{[a,b]+[b,c]+[c,a]}{a+b+c}$$
donde $a,b,c$ son enteros mayores a 1, y $[x,y]$ es el minimo comun multiplo de $x,y$.

Problema 2.
Todo cuadrito unitario de una cuadricula de $n \times n$ se ha coloreado con uno de dos colores (rojo y negro) y de manera que entre todos los cuadritos de $2 \times 2$ esten presentes todas las coloraciones de cuadrados $2 \times 2$ (las coloraciones de cuadrados de $2 \times 2$ obtenidas de otra al rotar o al reflejar se consideran diferentes).
$(a)$ Encuentre el menor valor posible para $n$.
$(b)$ Para el menor valor posible $n$, encuentre el menor numero de cuadritos rojos que se van a necesitar para una coloracion como la que se señala.

Problema 3.
Sea $M$ un punto sobre el lado $BC$ del triangulo $ABC$. Una circunferencia $C$ es tangente a $AB$ y $BM$ en $T$ y $K$, respectivamente; y tambien tangente (externamente) al circuncirculo de $AMC$ en $P$. Muestra que si $TK$ es paralelo a $AM$ entonces los circuncirculos de $APT$ y $KPC$ son tangentes.

Problema 4.
Para un numero primo $p$, encuentre el numero de ternas $(a,b,c)$ formadas con numeros del conjunto {1, 2, 3, ..., 2$p^2$} que satisfacen,
$$\frac{[a,c]+[b,c]}{a+b} = \frac{c( p^2 +1)}{p^2 +2}$$
Aqui, $[x,y]$ es el minimo comun multiplo de $x,y$.