miércoles, 2 de febrero de 2011

Quinto examen de entrenamiento

Problema 1.
La sucesion de enteros 0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, ... se ha obtenido asi: inicio con 0, luego al numero anterior se sumo 1, despues al numero obtenido se sumo otro 1, luego se sumo 2 y despues de nuevo se sumo 2, despues se suma 3 y asi sucesivamente. Si los terminos de la sucesion son $a_0, a_1, a_2,$ ... entonces,
$a_0 =0$
$a_{2n-1} = a_{2n-2} +n$ y $a_{2n} = a_{2n-1} +n$, para los enteros $n \geq 1$
Encuentra todos los enteros $k \geq 0$ para los que $a_k$ es el cuadrado de un entero.

Problema 2.
Sea $N$ el numero de quintetas ordenadas de enteros positivos $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ que satisfacen,
\[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} = 1 \]
El numero $N$ es par o impar?
Nota: $(1,2,3,4,5) \neq (1,2,3,5,4)$.

Problema 3.
Sean A y B dos circunferencias que se cortan en $P$ y $Q$. La tangente comun a las circunferencias que esta del mismo lado de $P$, corta a A y B en $A$ y $B$ respectivamente. Sea $C$ el segundo punto de interseccion de la circunferencia B con la tangente a la circunferencia A en $P$, y sea $D$ el segundo punto de interseccion de la circunferencia A con la tangente a la circunferencia B en $P$.
Sea $E$ la interseccion de $AP$ con $BC$ y sea $F$ la interseccion de $BP$ con $AD$. Sea $M$ la reflexion de $P$ con respecto al punto medio de $AB$.
Muestra que $AMBEQF$ en un hexagono ciclico.

Problema 4.
Muestra que para todo entero $n \geq 0$, existe una permutacion $(a_0, a_1, ... , a_n)$ de ( 0, 1, ..., $n$) de manera que:
$k+ a_k$ es un cuadrado para toda $k \in$ { 0, 1, ..., $n$}.

5 comentarios:

  1. Jaja, el problema me salió en menos de 10 minutos, supongo que por algo es problema 1.
    El problema 2 lo estoy intentando, pero mi aproximación es demasiado talachera.

    Respuesta p1:
    Todos los $a_{2n-1}$

    Solución p1:

    Nos fijamos que
    \[a_{2n+1}-a_{2n}=n+1\]
    \[a_{2n}-a_{2n-1}=n\]
    Sumando ambas
    \[a_{2n+1}-a_{2n-1}=2n+1\]
    Entonces
    \[a_{2n+1}=a_{2n-1}+2n+1\]
    Como $a_1$, es facil demostrar inductivamente que
    \[a_{2k+1}=1+3+\cdots+(2k+1)\]
    Pero eso ultimo es una suma de impares consecutivos desde el 1, asi que eso es una cuadrado perfecto.

    Ahora veamos que todos los $a_{2n}$ no son cuadrados.

    De manera muy similar
    \[a_{2n}-a_{2n-1}=n\]
    \[a_{2n-1}-a_{2n-2}=n\]
    Entonces
    \[a_{2n}=a_{2n-2}+2n\]
    Entonces como $a_0=0$, se puede demostrar inductivamente que
    $a_{2k}=2+4+\cdots+2k=k(k+1)$
    Lo cual no es cuadrado perfecto.

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  2. Y se me olvidó mencionar que ademas de $a_{2n-1}$ tambien $a_0$ es cuadrado jeje

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  3. en 10 minutos? era para que saliera en 30 segundos!!!

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  4. 10 minutos incluye tiempo de escritura en $\LaTeX{}$ jeje

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  5. De acuerdo con Alberto, que sale en 30 segundos o menos.

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