Quinto examen de entrenamiento

Problema 1.
La sucesion de enteros 0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, ... se ha obtenido asi: inicio con 0, luego al numero anterior se sumo 1, despues al numero obtenido se sumo otro 1, luego se sumo 2 y despues de nuevo se sumo 2, despues se suma 3 y asi sucesivamente. Si los terminos de la sucesion son $a_0, a_1, a_2,$ ... entonces,
$a_0 =0$
$a_{2n-1} = a_{2n-2} +n$ y $a_{2n} = a_{2n-1} +n$, para los enteros $n \geq 1$
Encuentra todos los enteros $k \geq 0$ para los que $a_k$ es el cuadrado de un entero.

Problema 2.
Sea $N$ el numero de quintetas ordenadas de enteros positivos $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ que satisfacen,
$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} = 1$$
El numero $N$ es par o impar?
Nota: $(1,2,3,4,5) \neq (1,2,3,5,4)$.

Problema 3.
Sean A y B dos circunferencias que se cortan en $P$ y $Q$. La tangente comun a las circunferencias que esta del mismo lado de $P$, corta a A y B en $A$ y $B$ respectivamente. Sea $C$ el segundo punto de interseccion de la circunferencia B con la tangente a la circunferencia A en $P$, y sea $D$ el segundo punto de interseccion de la circunferencia A con la tangente a la circunferencia B en $P$.
Sea $E$ la interseccion de $AP$ con $BC$ y sea $F$ la interseccion de $BP$ con $AD$. Sea $M$ la reflexion de $P$ con respecto al punto medio de $AB$.
Muestra que $AMBEQF$ en un hexagono ciclico.

Problema 4.
Muestra que para todo entero $n \geq 0$, existe una permutacion $(a_0, a_1, ... , a_n)$ de ( 0, 1, ..., $n$) de manera que:
$k+ a_k$ es un cuadrado para toda $k \in$ { 0, 1, ..., $n$}.