Problema 1.
La sucesion de enteros 0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, ... se ha obtenido asi: inicio con 0, luego al numero anterior se sumo 1, despues al numero obtenido se sumo otro 1, luego se sumo 2 y despues de nuevo se sumo 2, despues se suma 3 y asi sucesivamente. Si los terminos de la sucesion son $a_0, a_1, a_2,$ ... entonces,
$a_0 =0$
$a_{2n-1} = a_{2n-2} +n$ y $a_{2n} = a_{2n-1} +n$, para los enteros $n \geq 1$
Encuentra todos los enteros $k \geq 0$ para los que $a_k$ es el cuadrado de un entero.
Problema 2.
Sea $N$ el numero de quintetas ordenadas de enteros positivos $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ que satisfacen,
\[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_5} = 1 \]
El numero $N$ es par o impar?
Nota: $(1,2,3,4,5) \neq (1,2,3,5,4)$.
Problema 3.
Sean A y B dos circunferencias que se cortan en $P$ y $Q$. La tangente comun a las circunferencias que esta del mismo lado de $P$, corta a A y B en $A$ y $B$ respectivamente. Sea $C$ el segundo punto de interseccion de la circunferencia B con la tangente a la circunferencia A en $P$, y sea $D$ el segundo punto de interseccion de la circunferencia A con la tangente a la circunferencia B en $P$.
Sea $E$ la interseccion de $AP$ con $BC$ y sea $F$ la interseccion de $BP$ con $AD$. Sea $M$ la reflexion de $P$ con respecto al punto medio de $AB$.
Muestra que $AMBEQF$ en un hexagono ciclico.
Problema 4.
Muestra que para todo entero $n \geq 0$, existe una permutacion $(a_0, a_1, ... , a_n)$ de ( 0, 1, ..., $n$) de manera que:
$k+ a_k$ es un cuadrado para toda $k \in$ { 0, 1, ..., $n$}.
Jaja, el problema me salió en menos de 10 minutos, supongo que por algo es problema 1.
ResponderBorrarEl problema 2 lo estoy intentando, pero mi aproximación es demasiado talachera.
Respuesta p1:
Todos los $a_{2n-1}$
Solución p1:
Nos fijamos que
\[a_{2n+1}-a_{2n}=n+1\]
\[a_{2n}-a_{2n-1}=n\]
Sumando ambas
\[a_{2n+1}-a_{2n-1}=2n+1\]
Entonces
\[a_{2n+1}=a_{2n-1}+2n+1\]
Como $a_1$, es facil demostrar inductivamente que
\[a_{2k+1}=1+3+\cdots+(2k+1)\]
Pero eso ultimo es una suma de impares consecutivos desde el 1, asi que eso es una cuadrado perfecto.
Ahora veamos que todos los $a_{2n}$ no son cuadrados.
De manera muy similar
\[a_{2n}-a_{2n-1}=n\]
\[a_{2n-1}-a_{2n-2}=n\]
Entonces
\[a_{2n}=a_{2n-2}+2n\]
Entonces como $a_0=0$, se puede demostrar inductivamente que
$a_{2k}=2+4+\cdots+2k=k(k+1)$
Lo cual no es cuadrado perfecto.
Y se me olvidó mencionar que ademas de $a_{2n-1}$ tambien $a_0$ es cuadrado jeje
ResponderBorraren 10 minutos? era para que saliera en 30 segundos!!!
ResponderBorrar10 minutos incluye tiempo de escritura en $\LaTeX{}$ jeje
ResponderBorrarDe acuerdo con Alberto, que sale en 30 segundos o menos.
ResponderBorrar