Cuarto examen de entrenamiento

Problema 1.
Sea $ABC$ un triangulo y $P$ un punto dentro del triangulo y sobre la mediatriz de $AB$. Sobre los lados $BC$ y $CA$ se construyen externamente los triangulos $CBQ$ y $ACR$, de manera que los triangulos $ABP$, $CBQ$ y $ACR$ sean semejantes. (Los puntos $Q$ y $A$ estan en lados opuestos con respecto a $BC$; y los puntos $R$ y $B$ estan en lados opuestos con respecto a $AC$). Muestra que los puntos $P$, $Q$, $C$ y $R$ son los vertices de un paralelogramo.

Problema 2.
Encuentra el mayor entero no negativo $k$ para el que existe un entero $n$ con la siguiente propiedad:
$n$ es cuadrado perfecto con al menos $k+1$ digitos y para cada $i \textless k$, el entero que se obtiene al quitar los ultimos $i$ digitos a $n$ es un cuadrado perfecto.
(Si $i=1$ se debe quitar el digito de las unidades; si $i=2$ se quitan el digito de las unidades y el digito de las decenas, etc.)

Problema 3:
En el plano se dan 5 segmentos. Se ha comprobado que en 9 de las 10 maneras de elegir 3 segmentos de los 5, se puede formar con los segmentos elegidos un triangulo acutangulo. Muestra que en la decima manera de elegir 3 segmentos de los 5, tambien se puede formar un triangulo con los segmentos elegidos.

Problema 4:
Sobre una recta $l$ hay 3 puntos diferentes $A$, $B$, $P$ en ese orden. Sea $a$ la recta por $A$ perpendicular a $l$ y sea $b$ la recta por $B$ perpendicular a $l$. Una recta por $P$, diferente de $l$, corta a la recta $a$ en $Q$ y corta a la recta $b$ en $R$. La recta por $A$ perpendicular a $BQ$ corta a $BQ$ en $L$ y corta $BR$ en $T$. La recta por $B$ perpendicular a $AR$ corta a $AR$ en $K$ y a $AQ$ en $S$.
$(a)$ Muestra que $P$, $T$, $S$ son colineales.
$(b)$ Muestra que $P$, $K$, $L$ son colineales.