3er examen selectivo, Colima 2011

Problema 1.
Encuentre todos los enteros $n \geq 3$, para los que existe un $n-agono$ que tenga todos sus lados de la misma longitud y con todos sus angulos internos iguales a 120° o a 240°.

Problema 2.
Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB \neq AC$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$. Sea $P$ sobre la recta $AB$ con $B$ entre $A$ y $P$ y sea $Q$ sobre la recta $AC$ con $C$ entre $A$ y $Q$. Si $BCQP$ es ciclico y $DP=DQ$, muestra que $D$ es el circuncentro del $\triangle APQ$.

Problema 3.
Sea $m$ un entero impar fijo. Muestra que para cada entero positivo $k$ existe un entero positivo $n$ tal que $2^k$ divide a $n^n - m$.

Problema 4.
Considera un entero $n \geq 2$. Supon que $n$ puntos blancos y $n$ puntos negros se colocan sobre una circunferencia. Supon tambien que se trazan $2n$ segmentos usando estos puntos de la siguiente manera:
(1) Cada segmento tiene por extremo un punto blanco y un punto negro.
(2) Al recorrer los segmentos en orden, es posible completar un ciclo que pase por cada uno de los $2n$ puntos uno y solamente una vez.
Muestre que sin importar la forma en que los $2n$ puntos se coloquen sobre la circunferencia es posible dibujar los segmentos de manera que satisfagan las dos condiciones anteriores y de manera que haya a lo mas $n-1$ intersecciones entre los segmentos que se dibujen.
Nota: Un extremo comun de dos segmentos no se considera como un punto de interseccion.