domingo, 9 de enero de 2011

Problema del día (9 de Ene)

Sea $n$ un entero positivo y sean $ a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{k} $ $ \left( k\ge 2\right) $ enteros distintos en el conjunto $ \{ 1,2,\ldots ,n \} $ tales que $n$ divide a $ a_{i}(a_{i+1}-1) $ para $ i = 1,2,\ldots,k-1 $. Demuestra que $n$ no divide a $ a_{k}(a_{1}-1). $

2 comentarios:

  1. Sugerencia:
    Utiliza contradicción, que pasaría si $n$ divide a $a_k(a_1 - 1)$ ?

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  2. Solucion:
    Nos fijamos que la condición $a_{i}(a_{i+1}-1)$ implica que
    \[a_i \equiv a_i a_{i+1} \pmod n\]
    Entonces tenemos que
    \[a_1 \equiv a_1 a_2 \equiv a_1 a_2 a_3 \equiv \ldots \equiv a_1 a_2 \ldots a_{k-2} a_{k-1} a_k \pmod{n}\]
    Y luego tenemos que:
    \[a_1 a_2 \ldots a_{k-2} a_{k-1} a_k \equiv a_1 a_2 \ldots a_{k-2} a_k \equiv a_1 a_2 \ldots a_{k-3} a_k \equiv \ldots \equiv a_1 a_k \pmod{n}\]
    Ahora supogamos que $n$ divide a $a_k(a_1-1)$ es decir:
    \[a_k \equiv a_1 a_k \pmod{n}\]
    Entonces tenemos que
    \[a_1 \equiv a_k \pmod{n}\]
    Eso quiere decir que $n|a_1-a_k$
    pero eso tambien quiere decir que $n \leq |a_1-a_k|$ pero como $a_1$ y $a_k$ son numeros del conjunto $\{1,2,\dots,n\}$, entonces su diferencia en valor absoluto va a ser menor que $n$, lo cual es una contradicción.

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