domingo, 9 de enero de 2011
Problema del día (9 de Ene)
Sea $n$ un entero positivo y sean $ a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{k} $ $ \left( k\ge 2\right) $ enteros distintos en el conjunto $ \{ 1,2,\ldots ,n \} $ tales que $n$ divide a $ a_{i}(a_{i+1}-1) $ para $ i = 1,2,\ldots,k-1 $. Demuestra que $n$ no divide a $ a_{k}(a_{1}-1). $
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Sugerencia:
ResponderBorrarUtiliza contradicción, que pasaría si $n$ divide a $a_k(a_1 - 1)$ ?
Solucion:
ResponderBorrarNos fijamos que la condición $a_{i}(a_{i+1}-1)$ implica que
\[a_i \equiv a_i a_{i+1} \pmod n\]
Entonces tenemos que
\[a_1 \equiv a_1 a_2 \equiv a_1 a_2 a_3 \equiv \ldots \equiv a_1 a_2 \ldots a_{k-2} a_{k-1} a_k \pmod{n}\]
Y luego tenemos que:
\[a_1 a_2 \ldots a_{k-2} a_{k-1} a_k \equiv a_1 a_2 \ldots a_{k-2} a_k \equiv a_1 a_2 \ldots a_{k-3} a_k \equiv \ldots \equiv a_1 a_k \pmod{n}\]
Ahora supogamos que $n$ divide a $a_k(a_1-1)$ es decir:
\[a_k \equiv a_1 a_k \pmod{n}\]
Entonces tenemos que
\[a_1 \equiv a_k \pmod{n}\]
Eso quiere decir que $n|a_1-a_k$
pero eso tambien quiere decir que $n \leq |a_1-a_k|$ pero como $a_1$ y $a_k$ son numeros del conjunto $\{1,2,\dots,n\}$, entonces su diferencia en valor absoluto va a ser menor que $n$, lo cual es una contradicción.