Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del Día (4 de Ene)

martes, 4 de enero de 2011

Problema del Día (4 de Ene)

Sea

$\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo

$ABC$ y

$P$ un punto en el interior del triángulo. Las rectas

$AP,BP$ y

$CP$ cortan de nuevo a

$\Gamma$ en los puntos

$K,L$ y

$M$ , respectivamente. La recta tangente en

$C$ corta a la recta

$AB$ en

$S$ . Si se tiene que

$SC=SP$ , demuestre que

$MK=ML$ .

9 comentarios:

alberto7 de enero de 2011, 7:08 p.m.
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alberto7 de enero de 2011, 7:10 p.m.
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alberto7 de enero de 2011, 7:11 p.m.
http://img593.imageshack.us/i/probdeldia4ene.jpg/

Llamamos a los angulos
$\angle CAK = \alpha _1$
$\angle KAB = \alpha _2$
$\angle ABL = \beta _1$
$\angle LBC = \beta _2$
$\angle BCM = \theta _1$
$\angle MCA = \theta _2$

Porque abren los mismos arcos
$\angle AKL = \angle ABL = \beta _1$
$\angle MKA = \angle MCA = \theta _2$
$\angle KLB = \angle KAB = \alpha _2$
$\angle BLM = \angle BCM = \theta _1$

Por la tangente $CS$ tenemos que $\angle BAC = \angle BCS = \alpha _1 +\alpha _2$

Por potencia de punto $SB \cdot SA = SC^2$
Y por $SC=SP$ eso es igual a $SB \cdot SA = SP^2$

Entonces por esta potencia de punto $SP$ es tangente al circuncirculo de $\triangle BAP$ , por lo tanto $\angle BAP = \angle BPS$

Por ser angulo exterior $\angle BPK = \alpha _2 + \beta _1$ , entonces $\angle SPK = \beta _1$

Tambien por angulo exterior $\angle KPC = \alpha _1 + \theta _2$

Como $SP=SC$
$\angle SPC = \angle SCP$
$\beta _1 + \alpha _1 + \theta _2 = \theta _1 + \alpha _1 +\alpha _2$
$\beta _1 + \theta _2 = \theta _1 +\alpha _2$

$\beta _1 + \theta _2 = \angle MKL$
$\theta _1 +\alpha _2 = \angle MLK$

$\angle MKL = \angle MLK$

Y $MK=ML$
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Karina =)8 de enero de 2011, 10:53 p.m.
Este me suena a IMO del año pasado... o antepasado a lo mucho jaja... y que según recuerdo... Alberto lo hizo como está arriba mientras que yo habia usado SCA~SBC y SAP~SPB, que sale igual con potencia de punto... y el resto solo angulos....

Alberto... ya casi no le entiendo a tu solucion hasta que me di cuenta que la S podia cortar a AB "por abajo" (en mi dibujo corta arriba)... luego que lo noté todo tiene sentido, pero ahora me pregunto si hay que hacer ambos casos pues para empezar si corta arriba <BCS no es igual a <BAC si no a 180 menos eso, entre otros angulos, aunque si es algo muy parecido....
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IwakuraIsa8 de enero de 2011, 11:52 p.m.
Asi es es del 2010, les debo la revisada porque quiero intentarlo jeje
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alberto9 de enero de 2011, 12:51 p.m.
Si hice lo de potencia de punto la otra vez, pero lo demas la vez pasada lo conclui mas complicado xD Lo vi ya cuando habia terminado...

Y para eso subi un dibujo que se parece al que hice en mi cuaderno :)
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IwakuraIsa10 de enero de 2011, 12:00 a.m.
Ya lo revisé Alberto, esta bien , lo sé porque la solución que me salió es identica! jajaja, después estuve leyendo soluciones y la mayoria usan el hecho de que SP es tangente. Ninguna menciona dos casos de que si es por arriba o por abajo la interseccion, pero en todo caso el argumento es análogo así que en mi opinion no hay que considerar dos casos. De ahi es la importancia de incluir el dibujo.

Y que triste si hubiera ido a esa IMO hubiera sacado como mas de 14 puntos, es de la IMO 2010, y de esa hice 2 problemas (los únicos que intenté, 1 y 4) jeje.
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alberto10 de enero de 2011, 4:42 p.m.
y porque triste? bueno no sacarias al menos bronce con un par de puntitos que le saques a los demas problemas
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IwakuraIsa10 de enero de 2011, 5:32 p.m.
mas de 14 es lo mismo que al menos 15, que eso es igual a bronce en esa jeje, y como van con los demás problemas por cierto?
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