viernes, 7 de enero de 2011

Problema del Día (7 de Ene)

(i) Si $x,y,z$ son tres números reales, todos diferentes de 1, tales que $xyz=1$, entonces prueba que:
\[ \frac{x^{2}}{\left(x-1\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(y-1\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(z-1\right)^{2}}\geq 1 \]
(ii) Prueba que la igualdad se alcanza para infinitas ternas de números racionales $x,y,z$.

4 comentarios:

  1. usemos util y desarrollemos la parte de abajo de cada uno y queda
    $\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2-2xy-2xz-2yz+3}\geq1$
    desarrollamos y nos queda
    $x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz \geq{x^2+y^2+z^2-2xy-2xz-2yz+3}$
    si solo si
    $4(xy+xz+yz)\geq3$
    si solo si
    $\frac{4(xy+xz+yz)}3\geq1$
    y por $MA\geq{MG}$
    $\frac{xy+xz+yz}3\geq{\root {3} \of {x^2y^2z^2}=1}$
    nos queda si solo si
    $4\geq1$ y acabamos

    no estoy seguro si esta bien, ya que no dice que sean positivos.

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  2. No dice que positivos porque no necesariamente son positivos

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  3. Sugerencia: para el inciso a)expande todo y luego factoriza lo que queda, para el inciso b) utiliza el trabajo de expandir y factorizar, luego trata de usar la condición para eliminar una de las variables y formar una ecuación cuadrática.

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  4. Solución:
    Quitamos los denominadores multiplicando por $(x-1)^2 (y-1)^2 (z-1)^2$ (que es positivo asi que no afecta el signo de la desigualdad) expandimos todo, y pasamos todo del lado izquierdo, ahora la desigualdad que queremos probar es:
    \[2x^2y^2z^2 - 2x^2y^2z +x^2y^2 -2x^2yz^2+x^2z^2-\]
    \[2xy^2z^2+8xyz-4xy-4xz+2x+y^2z^2 -4yz+2y+2x-1 \geq 0\]

    Ahora utilizamos la condicion para obtener que queremos probar:
    \[x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-6(xy+yz+zx)+2(x+y+z)+9 \geq 0\]

    Ahora nos fijamos que \[x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-6(xy+yz+zx)+2(x+y+z)+9=\]
    \[(xy+yz+zx-3)^2 \geq 0\], por lo que la desigualdad es cierta.

    Ahora consideremos el caso de igualdad
    $(xy+yz+zx-3)^2 = 0$
    Entonces $xy+yz+zx-3=0$
    Ahora utilizaremos la condición haciendo $z= \frac{1}{xy}$
    Entonces tenemos $xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-3=0$
    Multiplicando por $xy$
    \[x^2y^2+x+y-3xy=0\]
    \[x^2y^2+x(1-3y)+y=0\]
    Por lo que tenemos una ecuación cuadrática en $x$, y por formula general:
    \[x=\frac{3y-1 \pm \sqrt{(1-3y)^2-4y^3}}{2y^2}\]
    Y para que eso sea racional, es suficiente que el discriminante sea racional para eso nos fijamos que $(1-3y)^2-4y^3=(y-1)^2(1-4y)$ entonces es suficiente que $1-4y=k^2$ donde $k$ es un racional cualquiera, entonces haciendo $y=\frac{1-k^2}{4}$ tenemos que $y$ es racional y $x$ es racional, y entonces como $z=\frac{1}{xy}$ tambien $z$ es racional, y por lo tanto existen infinitas ternas $(x,y,z)$ con $xyz=1$ tales que se cumple la igualdad.

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