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miércoles, 5 de enero de 2011
Problema del Día (5 de Ene)
Sea $d$ cualquier entero positivo diferente de $2,5$ o $13$. Muestra que puedes encontrar $a,b$ distintos en el conjunto $ \{2,5,13,d\} $ tales que $ab-1$ no es un cuadrado perfecto.
Sugerencia: Observa que si el conjunto fuera nada mas $\{2,5,13\}$ todos los $ab-1$ son cuadrados perfectos, ahora observa que pasaria si los números $2d-1,5d-1,13d-1$ fueran todos cuadrados perfectos.
Solucion: Supongamos que $2d-1=k^2,5d-1=n^2,13d-1=m^2$ Ahora notemos que $2d-1 \equiv 0,1 \pmod{4}$ por ser cuadrado perfecto, pero $2d-1$ no puede se $0$ por paridad asi que $2d-1 \equiv 1 \pmod{4}$ y $2d \equiv 2 \pmod{4}$ por lo que $d$ es impar.
Ahora vamos a ver $5d-1$ y $13d-1$ modulo $16$ (Nota didactica: elegimos modulo 16 para explotar la paridad y porque modulo 2,4 y 8 5d-1 es lo mismo que 13d-1, en cambio con modulo 16 no)
Los residuos cuadraticos modulo $16$ son $0,1,4,9$, y tenemos que $d \equiv \pm 1,\pm 3, \pm 5, \pm 7 \pmod{16}$. Ahora haciendo cuentitas es facil ver que si $d \equiv \pm 1,\pm 3 \pmod {16}$, entonces $13d-1$ no es residuo cuadrático modulo $16$, y si $d \equiv \pm 5,\pm 7 \pmod {16}$, entonces $5d-1$ es el que falla modulo $16$. Por lo que tenemos una contradicción.
Sugerencia:
ResponderBorrarObserva que si el conjunto fuera nada mas $\{2,5,13\}$ todos los $ab-1$ son cuadrados perfectos, ahora observa que pasaria si los números $2d-1,5d-1,13d-1$ fueran todos cuadrados perfectos.
Solucion:
ResponderBorrarSupongamos que $2d-1=k^2,5d-1=n^2,13d-1=m^2$
Ahora notemos que $2d-1 \equiv 0,1 \pmod{4}$ por ser cuadrado perfecto, pero $2d-1$ no puede se $0$ por paridad asi que $2d-1 \equiv 1 \pmod{4}$ y $2d \equiv 2 \pmod{4}$ por lo que $d$ es impar.
Ahora vamos a ver $5d-1$ y $13d-1$ modulo $16$
(Nota didactica: elegimos modulo 16 para explotar la paridad y porque modulo 2,4 y 8 5d-1 es lo mismo que 13d-1, en cambio con modulo 16 no)
Los residuos cuadraticos modulo $16$ son $0,1,4,9$, y tenemos que $d \equiv \pm 1,\pm 3, \pm 5, \pm 7 \pmod{16}$.
Ahora haciendo cuentitas es facil ver que si $d \equiv \pm 1,\pm 3 \pmod {16}$, entonces $13d-1$ no es residuo cuadrático modulo $16$, y si $d \equiv \pm 5,\pm 7 \pmod {16}$, entonces $5d-1$ es el que falla modulo $16$. Por lo que tenemos una contradicción.