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miércoles, 5 de enero de 2011
Problema del Día (5 de Ene)
Sea d cualquier entero positivo diferente de 2,5 o 13. Muestra que puedes encontrar a,b distintos en el conjunto {2,5,13,d} tales que ab−1 no es un cuadrado perfecto.
Sugerencia: Observa que si el conjunto fuera nada mas {2,5,13} todos los ab−1 son cuadrados perfectos, ahora observa que pasaria si los números 2d−1,5d−1,13d−1 fueran todos cuadrados perfectos.
Solucion: Supongamos que 2d−1=k2,5d−1=n2,13d−1=m2 Ahora notemos que 2d−1≡0,1(mod4) por ser cuadrado perfecto, pero 2d−1 no puede se 0 por paridad asi que 2d−1≡1(mod4) y 2d≡2(mod4) por lo que d es impar.
Ahora vamos a ver 5d−1 y 13d−1 modulo 16 (Nota didactica: elegimos modulo 16 para explotar la paridad y porque modulo 2,4 y 8 5d-1 es lo mismo que 13d-1, en cambio con modulo 16 no)
Los residuos cuadraticos modulo 16 son 0,1,4,9, y tenemos que d≡±1,±3,±5,±7(mod16). Ahora haciendo cuentitas es facil ver que si d≡±1,±3(mod16), entonces 13d−1 no es residuo cuadrático modulo 16, y si d≡±5,±7(mod16), entonces 5d−1 es el que falla modulo 16. Por lo que tenemos una contradicción.
Sugerencia:
ResponderBorrarObserva que si el conjunto fuera nada mas {2,5,13} todos los ab−1 son cuadrados perfectos, ahora observa que pasaria si los números 2d−1,5d−1,13d−1 fueran todos cuadrados perfectos.
Solucion:
ResponderBorrarSupongamos que 2d−1=k2,5d−1=n2,13d−1=m2
Ahora notemos que 2d−1≡0,1(mod4) por ser cuadrado perfecto, pero 2d−1 no puede se 0 por paridad asi que 2d−1≡1(mod4) y 2d≡2(mod4) por lo que d es impar.
Ahora vamos a ver 5d−1 y 13d−1 modulo 16
(Nota didactica: elegimos modulo 16 para explotar la paridad y porque modulo 2,4 y 8 5d-1 es lo mismo que 13d-1, en cambio con modulo 16 no)
Los residuos cuadraticos modulo 16 son 0,1,4,9, y tenemos que d≡±1,±3,±5,±7(mod16).
Ahora haciendo cuentitas es facil ver que si d≡±1,±3(mod16), entonces 13d−1 no es residuo cuadrático modulo 16, y si d≡±5,±7(mod16), entonces 5d−1 es el que falla modulo 16. Por lo que tenemos una contradicción.