martes, 11 de enero de 2011

Problema del Día (11 de Ene)

Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $abc=1$. Prueba que:
\[ \frac{1}{a^{3}\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^{3}\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^{3}\left(a+b\right)}\geq\frac{3}{2}. \]

5 comentarios:

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  2. primero multiplicamos por $a^2b^2c^2=1$ el lado izquierdo y usamos util

    $\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{a^2c^2}{b\left(a+c\right)}+\frac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\geq\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)=\frac{ab+bc+ac}{2}\geq\frac{3}{2}$

    $ab+bc+ac\geq3$

    $\frac{ab+bc+ac}{3}\geq1$

    que por MA MG se cumple

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  3. amm pues quien sabe por que no sale el latex.. pero el punto es que hacemos lo que dice el primer renglon y nos queda (luego de multiplicar por 2) lo que dice la siguiente cosa que si se ve xD

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  4. Muy bien, curiosamente ese era un problema 2 de una IMO (creo que de la 95), y es mas facil que algunos 1's mas recientes. Yo tengo la misma solución en esencia.

    Ahora la siguiente pregunta, podrás sacar una solución sin cauchy (sin util)?

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