jueves, 13 de enero de 2011

Problema del Día (13 de Ene)

Determina todas las parejas $(x,y)$ de enteros positivos tales que $ x^{2}y+x+y $ es divisible entre $ xy^{2}+y+7 $

2 comentarios:

  1. Solución:

    Aplicando el algoritmo de la división larga de polinomios, tenemos que $\frac{(x^{2}y + x + y)}{(xy^2 + y + 7)}=\frac{x}{y} + \frac{y^2 -7x}{y}$. Llamemos $W$ y $Z$ al primer y segundo polinomios del enunciado, respectivamente. Si queremos que $W$ sea divisible entre $Z$, entonces el cociente deberá ser entero, y el residuo igual a cero.

    De esta forma, tenemos del cociente que $y$ divide a $x$, por lo que $x=yk$ con $k$ entero positivo. Luego, si el residuo es igual a cero, tenemos que $y^2 -7x=0$ de ahi que $y^2=7x$ entonces $y=7k$ y $x=7k^2$, los cuales conforman nuestro universo solución:

    $(x,y)=(7k^{2},7k)$ para cualquier $k$ natural.

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  2. Fe de erratas:

    en la segunda linea de la solución, tengo que $\frac{W}{Z}=\frac{x}{y}+\frac{y^{2}-7x}{y}$, lo correcto es decir:

    $\frac{W}{Z}=\frac{x}{y}$ con $\frac{y^{2}-7x}{y}$ como residuo.

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