La comunidad de olímpicos, ex-olímpicos, entrenadores y seguidores de la Olimpiada en Chihuahua, wherever they are in the world.
Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
jueves, 13 de enero de 2011
Problema del Día (13 de Ene)
Determina todas las parejas (x,y) de enteros positivos tales que x2y+x+y es divisible entre xy2+y+7
Aplicando el algoritmo de la división larga de polinomios, tenemos que (x2y+x+y)(xy2+y+7)=xy+y2−7xy. Llamemos W y Z al primer y segundo polinomios del enunciado, respectivamente. Si queremos que W sea divisible entre Z, entonces el cociente deberá ser entero, y el residuo igual a cero.
De esta forma, tenemos del cociente que y divide a x, por lo que x=yk con k entero positivo. Luego, si el residuo es igual a cero, tenemos que y2−7x=0 de ahi que y2=7x entonces y=7k y x=7k2, los cuales conforman nuestro universo solución:
Solución:
ResponderBorrarAplicando el algoritmo de la división larga de polinomios, tenemos que (x2y+x+y)(xy2+y+7)=xy+y2−7xy. Llamemos W y Z al primer y segundo polinomios del enunciado, respectivamente. Si queremos que W sea divisible entre Z, entonces el cociente deberá ser entero, y el residuo igual a cero.
De esta forma, tenemos del cociente que y divide a x, por lo que x=yk con k entero positivo. Luego, si el residuo es igual a cero, tenemos que y2−7x=0 de ahi que y2=7x entonces y=7k y x=7k2, los cuales conforman nuestro universo solución:
(x,y)=(7k2,7k) para cualquier k natural.
Fe de erratas:
ResponderBorraren la segunda linea de la solución, tengo que WZ=xy+y2−7xy, lo correcto es decir:
WZ=xy con y2−7xy como residuo.