Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día (9 de Ene)

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domingo, 9 de enero de 2011

Problema del día (9 de Ene)

Sea

$n$ un entero positivo y sean

$a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{k}$

$\left( k\ge 2\right)$ enteros distintos en el conjunto

$\{ 1,2,\ldots ,n \}$ tales que

$n$ divide a

$a_{i}(a_{i+1}-1)$ para

$i = 1,2,\ldots,k-1$ . Demuestra que

$n$ no divide a

$a_{k}(a_{1}-1).$

2 comentarios:

IwakuraIsa16 de enero de 2011, 7:29 p.m.
Sugerencia:
Utiliza contradicción, que pasaría si $n$ divide a $a_k(a_1 - 1)$ ?
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Respuestas
IwakuraIsa18 de enero de 2011, 10:01 p.m.
Solucion:
Nos fijamos que la condición $a_{i}(a_{i+1}-1)$ implica que
$a_i \equiv a_i a_{i+1} \pmod n$
Entonces tenemos que
$a_1 \equiv a_1 a_2 \equiv a_1 a_2 a_3 \equiv \ldots \equiv a_1 a_2 \ldots a_{k-2} a_{k-1} a_k \pmod{n}$
Y luego tenemos que:
$a_1 a_2 \ldots a_{k-2} a_{k-1} a_k \equiv a_1 a_2 \ldots a_{k-2} a_k \equiv a_1 a_2 \ldots a_{k-3} a_k \equiv \ldots \equiv a_1 a_k \pmod{n}$
Ahora supogamos que $n$ divide a $a_k(a_1-1)$ es decir:
$a_k \equiv a_1 a_k \pmod{n}$
Entonces tenemos que
$a_1 \equiv a_k \pmod{n}$
Eso quiere decir que $n|a_1-a_k$
pero eso tambien quiere decir que $n \leq |a_1-a_k|$ pero como $a_1$ y $a_k$ son numeros del conjunto $\{1,2,\dots,n\}$ , entonces su diferencia en valor absoluto va a ser menor que $n$ , lo cual es una contradicción.
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