Problema del día (30 de Septiembre)

Una línea paralela al lado $BC$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ corta a $AB$ en $F$ y a $AC$ en $E$. Probar que las circunferencias que tienen como diámetros a $BE$ y a $CF$ se cortan en un punto que cae en la altura del triángulo $\triangle{ABC}$ bajada desde el vértice $A$.

Problema del viernes

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<BC$. Sea $D$ el punto medio de $AC$ y $E$ la intersección de la mediatriz de $AC$ con el lado $BC$. Por $E$ se traza una paralela a $AC$ que corta a $AB$ en $F$. Sea $G$ el punto de intersección de $EF$ y la mediariz de $AB$. Demuestra que

$tan(\angle EGD)$ $=$ $\frac{2|ABC|}{BC^2}$

Problemas del día. (29 de septiembre)

1. Dos circunferencias $G_1$ y $G_2$ se intersectan en $M$ y $N$. Sea $AB$ la línea tangente a esas circunferencias en $A$ y $B$, respectivamente, de forma que $M$ queda más cerca de $AB$ que $N$. Sea $CD$ la línea paralela a $AB$ por $M$, con $C$ en $G_1$ y $D$ en $G_2$. Las líneas $AC$ y $BD$ se cortan en $E$, las líneas $AN$ y $CD$ se cortan en $P$ y las líneas $BN$ y $CD$ se cortan en $Q$.
   i) Demostrar que $EP=EQ$
   ii) Demostrar que $EN$ biseca a $\angle CND$

2. Un mago tiene cien cartas numeradas del $1$ al $100$. Las pone en tres cajas, una roja, una blanca y una azul, de forma que cada caja contenga al menos una carta. Un miembro del público toma dos cartas de cajas distintas y dice la suma de los números en esas dos cartas. Dada esta información, el mago indica la caja de la que no se tomó una carta. ¿Cuántas maneras hay de poner las cartas en las cajas para que el truco funcione?

Problema del Jueves Geometria


Sea ABC un triángulo tal que AB<AC y el ángulo BAC es el doble del ángulo BCA. Sobre el lado AC se toma un punto D tal que CD=AB. Por el punto B se traza una recta lparalela a AC. La bisectriz exterior del ángulo en A intersecta a l en el punto M, y la paralela a AB por C intersecta a l en el punto N. Prueba queMD=DN.MD=DN