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sábado, 9 de noviembre de 2013

Problemas del día. (10 de noviembre)

1. Sean m,n enteros positivos con nm. Demostrar que
2nn!(m+n)!(mn)!(m2+m)n.

2. Si a,b,c son las longitudes de los lados de un triángulo, mostrar que
3a3+b3+c3+3abc2max{a,b,c}

3. El Consejo Nacional del Matrimonio desea invitar a n parejas (hombre y mujer) a formar 17 grupos de discusión bajo las siguientes condiciones:
   i) Todos los miembros de un grupo deben ser del mismo sexo,
   ii) La diferencia del tamaño de cualesquiera dos grupos es 0 o 1,
   iii) Todos los grupos tienen al menos un miembro,
   iv) Cada persona debe pertenecer a uno y sólo un grupo.
Encontrar todos los valores de n, n1996, para los que esto es posible.

sábado, 2 de noviembre de 2013

Problemas del día. (3 de noviembre)

1. Alrededor de un círculo se colocan 5 unos y 4 ceros en cualquier orden. Luego, entre cualesquiera dos dígitos consecutivos iguales se coloca un cero y entre cualesquiera dos dígitos consecutivos diferentes se coloca un uno, y después se borran los dígitos originales. ¿Es posible llegar a tener 9 ceros repitiendo el proceso?

2. Un pirata tiene 2009 cofres cerrados y cada uno contiene alguna cantidad de oro y alguna cantidad de plata. Él quiere al menos la mitad del oro y al menos la mitad de la plata. Dice un número k y se abren todos los cofres. Luego escoge k cofres. ¿Cuál es el menor valor de k que puede decir para asegurarlo?

3. Un tipo está tirando canastas. La primera acierta, la segunda falla. De la tercera en adelante, la probabilidad de que acierte es igual a sus aciertos entre el total de intentos anteriores. Encuentra la probabilidad de que acierte 50 de 100 tiros.