Problemas del día. (10 de noviembre)

1. Sean $m,n$ enteros positivos con $n\leq m$. Demostrar que
$$2^n n!\leq \frac{(m+n)!}{(m-n)!}\leq (m^2+m)^n$$.

2. Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, mostrar que
$$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3+3abc}{2}}\geq max \{a,b,c\}$$

3. El Consejo Nacional del Matrimonio desea invitar a $n$ parejas (hombre y mujer) a formar $17$ grupos de discusión bajo las siguientes condiciones:
   i) Todos los miembros de un grupo deben ser del mismo sexo,
   ii) La diferencia del tamaño de cualesquiera dos grupos es $0$ o $1$,
   iii) Todos los grupos tienen al menos un miembro,
   iv) Cada persona debe pertenecer a uno y sólo un grupo.
Encontrar todos los valores de $n$, $n\leq 1996$, para los que esto es posible.

Problemas del día. (3 de noviembre)

1. Alrededor de un círculo se colocan 5 unos y 4 ceros en cualquier orden. Luego, entre cualesquiera dos dígitos consecutivos iguales se coloca un cero y entre cualesquiera dos dígitos consecutivos diferentes se coloca un uno, y después se borran los dígitos originales. ¿Es posible llegar a tener 9 ceros repitiendo el proceso?

2. Un pirata tiene 2009 cofres cerrados y cada uno contiene alguna cantidad de oro y alguna cantidad de plata. Él quiere al menos la mitad del oro y al menos la mitad de la plata. Dice un número k y se abren todos los cofres. Luego escoge k cofres. ¿Cuál es el menor valor de k que puede decir para asegurarlo?

3. Un tipo está tirando canastas. La primera acierta, la segunda falla. De la tercera en adelante, la probabilidad de que acierte es igual a sus aciertos entre el total de intentos anteriores. Encuentra la probabilidad de que acierte 50 de 100 tiros.