Sigamos con otro problema fácil del Putnam reciente (aunque admito que a mi no me salió).
Putnam A1:
Sea f una función del plano a los números reales, es decir, para cada punto P en el plano, f(P) es un número real. Supón que para cualquier cuadrado ABCD se cumple que f(A) + f(B) + f(C) + f(D) = 0. ¿Será cierto que f(P) = 0 para todo punto P en el plano?
A que se refiere el problema con la funcion de un punto?
ResponderBorrarPor ejemplo una función del plano a los reales sería f((x,y)) = x^2 + y^2.
ResponderBorrarEn tal caso la función en el punto (0,0) daría 0, en el punto (1,0) daría 1, en el punto (3,4) daría 25, etc.
HOLA.
ResponderBorrarno se si esto este correcto, aun no manejo muy bien las funciones.
Utilicé álgebra.
f(A) + f(B) + f(C) + f(D) = 0
ENTONCES
f(A)= - [f(B) +f(C) + f(D)]
como f(A) es un punto, y queremos ver que la funcion de cualquier punto deberá ser =0, entonces,
f(A)= - [f(B) +f(C) + f(D)]=0
si y solo si
f(B) +f(C) + f(D)]=0
analogamente,
f(B)= -[ f(C) + f(D)] =0
si y solo si
f(C)+f(D)=0
si y solo si
f(C)=- f(D)=0
si y solo si
f(D)=0
Procedimiento A: entonces, POR DEMOSTRAR que existe un punto R tal que f(R)=0 para toda f.
FALSO! Contraejemplo: f(R) = x²+5y²+1. si f(R)=0, entonces nos daria un numero imaginario para cualquier x e y, y la condicion inicial dice que f(P) nos arrojará siempre un numero real.
SEGUNDA FORMA.
Tracemos un cuadrado ABCD y los puntos medios de sus lados. E en AB, F en BC, G en DC, H en AD, y sea P la interseccion de EG con HF.
Entonces, f(A) + f(B) + f(C) + F(D)=f(A) + f(E) + f(P) + f(H)
luego
f(B) + f(C) + f(D) = f(E) + f(P) + f(H)
Ahora en el cuadrilatero HBCD tenemos que:
f(H) + f(B) + f(C) + F(D)=f(E) + f(E) + f(H) + f(H)= 2f(H) + f(E) + f(P) =0
así, F(H)= -[ f(E) + f(P)]/2
F(H)= (-1/2)[f(E) + f(P)] y por la suposicion, f(H)= (-1/2)[f(E) + f(P)]=0
así, f(H)=0 si y solo si FH= 0 = f(E) + f(P)
si y solo si
f(E) + f(P) =0
lo cual continuaria con el mismo procedimiento A.
SALUDOS! y diganme de plano en todo lo k stoi mal, grax.
Checalo bien daniel, hay algo mal jeje
ResponderBorrarHBCD no es cuadrado
ResponderBorrarOHH ES VDD.. jaja es k copie mal el problema en mi cuaderno.. escribi k ABCD era un cuadrilatero.. no un cuadrado.. entonces pues asumi que para cualquier cuadrilatero se cumplia que lasuma de las funciones de cada uno de sus vertices era igual a cero....
ResponderBorrarentonces dejen lo reintento jeje.
gracias!
A ver esta es mi idea toma X un punto cualquiera. Escoje 4 puntos al norte al sur al esta y al oeste a distancia 1 de X y llamales N S E O respectivamente. Ahora sea ABCD el cuadrado que tiene a N en el punto medio de AB, E el punto medio de BC, S el punto medio de CD y O el punto medio de DA. Ahora suma los 4 puntos de los 4 cuadrados ANXO NBEX ECSX y OSDO. La suma debe ser zero por que todos son cudrados. Pero esta suma es igual a la suma
ResponderBorrarf(A)+f(B)+f(C)+f(D)+
2(f(N)+f(E)+f(S)+f(O)+4f(X)=0 como ABCD y NESO forman son cuadrados resulta que 4f(X)=0 entonces f(X)=0.
Disculpen me falto cerrar el parentesis del 2(f(N)+f(E)+f(S)+f(O))
ResponderBorraroh si es cierto!! no use el cuadrado EFGH jaja k roiio conmigo..
ResponderBorrarEsa sirve Carlos. Es la solución más común. Hay otras soluciones.
ResponderBorrarA mi no me salió porque todo el tiempo intente dar algún argumento de límites, pero pues no sirve porque f no tiene porque ser continua.
La solucion de Carlos es igual a la mia jeje
ResponderBorrarAh yo tambien pense en usar continuidad al principo. Creo que el saber mas mate aveces te evita ver arugumentos mas sensillos. Iwakuralsa eres un genio.
ResponderBorrarAl principio no tenia idea de que hacer que pudiera funcionar, luego vi el intento de Daniel y de ahi se me ocurrio trazar los puntos medios de los lados de un cuadrado y el centro. Y dije, a lo mejor y funciona hacer muchas ecuaciones que sean iguales a 0. Y si funciono, lol.
ResponderBorrarSi, pues Daniel casi tiene la solución escrita.
ResponderBorrarea! jaja... si no fuera porque pense en cuadrilateros y no en cuadrados.. shale.. XD, y pues si... jeje tomando en cuenta el cuadrado EFGH, la solucion es muy parecida (no se si igual pk no las he comparado) a la de carlos e isai(me imagino).
ResponderBorrarsaludos!
una pregunta, se necesita saber algo de funciones o algo asi? o si podria hacerlo con lo que se?
ResponderBorrarestoi seguro k puedes hacerlo con lo k sabes.
ResponderBorrarLa palabra FUNCIONES podria confundirte pues talvez tratarias de entenderla. Como pudiste notar, ni isai ni iio entendimos (a primera vista) lo que la funcion de un punto viene a decir.
Creo que la solucion que dio Carlos no utiliza mas que algebra.
Si la entendiste, entoncs estas listo para hacer una solucion propia. Aparte, si es asi, pues puedes convencerte que no es necesario saber sobre funciones, puesto que tu sin tener conocimiento de ellas pudiste captar al 100 la solucion.
Saludos cuate!
No le digas que lea la de Carlos primero. Deberia intentarlo primero.
ResponderBorrarNo se necesita saber nada de funciones, excepto que f(x) = f(x).