lunes, 14 de diciembre de 2009

Problema del Día

Ahora yo quiero poner un problema.

Agarré el libro de desigualdades y seleccioné un problema al azar, no se si esta difícil o fácil ya que aun no lo hago.

(Lista Corta Iberoamericana, 2003)
Sean a,b,c números reales positivos muestre que:

(a^3)/(b^2 - bc + c^2) + (b^3)/(c^2 - ca + a^2) + (c^3)/(a^2 - ab + b^2) >= a + b + c

14 comentarios:

  1. Lo intente como 20 minutos y no me salió. No está tan fácil, porque la cota inferior está grande.

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  2. esta super intenso!!! no me sale!! :@ arrgghhh!! haha tonz sta padre..

    hha... kike, desarrolle todos los polinomios... no me da algo "bonito"...

    intente util, reacomodo y una media.. NO ME DAN NADA

    BIEN ISAI!!

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  3. a mi tampoco me ha salido :P

    al menos no me sentire tan mal por intentarlo tanto y que no me salga

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  4. Oh genial, puse un problema dificil xD jaja, de alguna forma debe de servir muirhead porque esta en la seccion de muirhead lol

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  5. Si a nadie le sale para el lunes pongo la solucion del libro

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  6. No pude encontrar una solucion que no fuera quitar los denominadores y aplicar muirhead, y ya para que alguien mas ponga un problema, los dejo con la solucion del libro:

    ***SPOILER***
    Observe que la desigualdad es equivalente a la desigualdad:
    a^3(b+c)/(b^3+c^3) + b^3(a+c)/(a^3+c^3) + c^3(b+a)/(b^3+a^3) >= a+b+c

    Lo que a su vez es equivalente a:
    a^3(b+c)(a^3+c^3)(a^3+b^3) +
    b^3(a+c)(b^3+c^3)(b^3+a^3) +
    c^3(b+a)(c^3+a^3)(c^3+b^3) >=
    (a+b+c)(a^3+c^3)(a^3+b^3)(b^3+c^3)

    LA ultima desigualdad puede ser escrita en la terminología de Muirhead como:
    [9,1,0]+[6,4,0]+[6,3,1]+[4,3,3]>=
    ((1/2)[1,0,0])([6,3,0]+(1/3)[3,3,3])= [7,3,0] + [6,4,0] + [6,3,1] + [4,3,3]
    <->
    [9,1,0]>=[7,3,0]
    lo cual sigue del teorema de muirhead.
    ***END OF SPOILER***

    Nota:
    Teorema de muirhead
    sean
    a1>=a2>=a3>=...>=an
    b1>=b2>=b3>=...>=bn
    Cuando se tiene que:
    a1<=b1
    a1+a2<=b1+b2
    a1+a2+a3<=b1+b2+b3
    ...
    a1+a2+...+an=b1+b2+...+bn (La ultima igualdad es importante)
    Se dice que la secuencia b1,b2,...,bn mayoriza a la secuencia a1,a2,...,an

    Entonces el teorema dice que:
    (sum sym)x^b1*x^b2*...*x^bn >= (sum sym)x^a1*x^a2*...*x^an
    si y solo si
    b1,b2,...,bn mayoriza a la secuencia a1,a2,...,an

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  7. Correcion:
    quize decir
    (sum sym)x1^b1*x2^b2*...*xn^bn >= (sum sym)x1^a1*x1^a2*...*xn^an

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  8. por fin la solucion.. pero me kede casi iwal.. :s .. es k no se muirhead... aki encontre una explicacion casi iwal a la de isai del teorema de muirhead.. o al menos creo k es eso, le capte mas a esta:

    Consideremos los símbolos [5,0,0], [3,1,1], [4,1,0] todos los con la misma
    suma y formados por tres números decrecientes. Decimos que un símbolo
    [i2, j2 , k2] mayora a otro símbolo [i1, j1 , k1 ] si
    1. i2 >= i1,
    2. i2 + j2 >= i1 + j1 .
    Escribiremos [i2, j2 , k2 ] >= [i1, j1 , k1 ]. En nuestro ejemplo tenemos que
    [5, 0, 0] >= [4, 1, 0] >= [3, 1, 1].
    El teorema de Muirhead dice que un símbolo mayora a otro si y solo si la desigualdad correspondiente se cumple para todos los valores positivos de
    las variables y que la iguadad se cumple si y solo si las variables son todas
    iguales.

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  9. Correcion2:
    quize decir
    (sum sym)x1^b1*x2^b2*...*xn^bn >= (sum sym)x1^a1*x2^a2*...*xn^an

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  10. FELIZ NOCHE BUENA

    FELIZ NAVIDAD!!

    pasensela muy bien en compañia de su familia y seres queridos.

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  11. feliz navidad a ti tambien daniel :)

    y a todos :P

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  12. entonces a nadie le salio este problema? bueno...

    otro kike?

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  13. Si, pon otro kike, necesito con que entretenerme jeje (se que podria hacer problemas por mi cuenta, pero es mas divertido hacer un problema que te piden que hagas jeje)

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