lunes, 11 de enero de 2010

Problema

Demuestra que si (n-1)!=-1mod n entonces n es primo. Este resultado se considera de Gauss, yo lo resolvi hace poquito y no se me hizo muy dificil.

18 comentarios:

  1. Es el inverso del teorema de wilson =O

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  2. es el d wilson..

    aja..!!
    tonz la demostracion aki va:


    por el teorema de wilson tenemos que (p-1)!=-1 mod n si y solo si n es primo.. DEMOSTRADO!!jajaja
    ok ia se vio muy mamn... ahi va:


    digamos que n no es primo,es decir, es compuesto (duuh), entonces n tiene un divisor k diferente de n y 1, asi, k>1, n>k.

    mcm(n-1,n)=1, asi, tenemos que k divide a (n-1)!....

    pero el teorema nos dice que
    (n-1)!=-1modn, lo que significa que (n-1)!+1=0modn, asi, tenemos que k tambien divide a (n-1)!+1, lo cual, nos lleva a que k debe ser 1, puesto que (n-1)! y (n-1)!+1 son primos relativos, luego aqui tenemos una contradiccion, ya que de un principio supusimos que n>k>1. por lo tanto, n es no compuesta.. N ES PRIMA!!!! (Q.E.D.)

    saludos!
    (si hay un error avisen)
    P.S.
    (LA RAPADA STA PROXIMA)

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  3. ***SPOILER***
    Demostremoslo por contradiccion
    Supongamos que n es compuesto
    entonces n=p1^a1 * p2^a2 * ... pr^ar
    Entonces (n-1)!=-1mod n, es equivalente al sistema de congruencias:
    (n-1)!=-1mod p1^a1
    (n-1)!=-1mod p2^a2
    ...
    (n-1)!=-1mod pr^ar
    Pero por otro lado
    como pj^aj<n para cualquier j
    entonces
    (n-1)!=0 mod pj^aj ya que en el factorial aparece el numero pj^aj y
    pj^aj=0 mod pj^aj
    Y entonces tenemos una contradiccion.

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  4. wow daniel lo publico un minuto antes xD

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  5. Nomas se conoce como teorema de wilson a (p-1)!=-1mod p
    el inverso tiene otro nombre
    Fuente:wikipedia xD

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  6. Algo interesante siguiendo la idea de mi demostracion es que (n-1)!=0mod n si n es compuesto

    Si n es compuesto
    entonces n=p1^a1 * p2^a2 * ... pr^ar
    Como pj^aj<n para cualquier j
    entonces
    (n-1)!=0 mod pj^aj ya que en el factorial aparece el numero pj^aj y
    pj^aj=0 mod pj^aj.
    Entonces tenemos el sistema de congruencias.
    (n-1)!=0mod p1^a1
    (n-1)!=0mod p2^a2
    ...
    (n-1)!=0mod pr^ar

    y por lo tanto
    (n-1)!=0 mod n si n es compuesto.

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  7. aah ya vi que esta mal xD
    la sentencia:
    "como pj^aj<n para cualquier j" es cierta para numeros que no son de la forma p^k.

    Corrigiendo
    Caso n=p^k
    subcaso n=4
    4*3*2*1=2mod4
    subcaso n= p^2 y 2<p

    Es suficiente que los numeros p y 2p aparezcan en (n-1)!
    Sabemos que p<p^2
    Ademas
    2<p multiplicamos ambos lados por p
    2p<p^2
    por lo que p y 2p aparecen en (n-1)!

    subcaso n=p^k con 3<=k
    Es suficiente que aparezcan p^i y p^(k-i) con i<=i en (n-1)!
    pero p^i<p^k
    y p^(i-k)<p^k, por lo que aparecen en el (n-1)!

    Por lo tanto (n-1)!=0 mod n si n es compuesto y diferente de 4

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  8. si las dos soluciones se ven correctas.Creo que debo poner problemas mas dificiles :)

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  9. jaja.. creo k si..

    HECTOR!!!! NECESITO EL ACTA DE NACIMIENTO PARA SOLICITAR LA CARTILLA MILITAR!!!! dnd t encuentro???

    saludos!

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  10. No la solicites xD, se un remiso como yo jajaj

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  11. otra correccion.. nada mas de escritura.. lo demas se ve bonito.. XD

    dijiste :

    Corrigiendo
    Caso n=p^k
    subcaso n=4
    4*3*2*1=2mod4
    subcaso n= p^2 y 2<p


    pero, 4*3*2*1=0mod4
    lo correcto seria, 3*2*1=2mod4...

    ok... kreo la opcion de declararme remiso la tomare como LA PRIMERA K DESCARTE haha k weba ir despues.. isai..pon mas problemas.. hace un monton k no ponen d geometria.. o KIKE,.. k suba otros del PUTNAM.. jeje saludos pues!

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  12. un argumento mas sencillo para tu afirmacion (k a fin d cuentas es lo mismo k tudijiste) seria:

    P.D. (n-1)!=0 mod n si n es compuesto y diferente de 4.

    demostracion:
    (n-1)! contiene a todos los divisores de n (ya que n ES COMPUESTA). Entonces, si tiene a todos los divisores de n, excluyendo al mismo n, concluimos diciendo que la afirmacion es cierta. (el caso del 4 es facil de notar, ya que es de la forma p^p, con p prima, pero p=2 es el UNICO primo par, lo que nos garantiza que en otros numeros de la misma forma la sentencia sera "aplicable").

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  13. Buscare mas problemas, oye te has fijado que nomas tu y yo spameamos todo el blog xD

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  14. asi es.. shale.. weno.. tambien carlos

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