miércoles, 20 de enero de 2010

Tareas Nacionales.

¡¡¡YA ESTÁN LOS PROBLEMAS QUE LES DEJARON DE TAREA A MANUEL Y KARINA!!!


Aqui están:


-Demostrar que 1+2+3+...+n DIVIDE A 1^k+2^k+3^k+...+n^k (con k impar)


- En un triángulo ABC, la altura, la bisectriz y la mediana desde uno de los vertices divide al ángulo en cuatro ángulos iguales. Encuentra los ángulos del triángulo.


-Encontrar todas las parejas de enteros positivos (m,n), tales que se cumpla:
raiz(m²-4) < 2raiz(n) - m < raiz (m²-2).

(Editado por Isaí)
Manuel tambien me contó de estos:
-Demostrar que si trazas una recta por el gravicentro de un triangulo, entonces la suma de las distancias en segementos dirigidos de los vertices hacia esa recta es 0.

-Sean a,b,c los lados de un triangulo demostrar que:
a^2+b^2+c^2>=4*(abc)*sqrt(3)

-En el congreso se forman 3 comisiones disjuntas de 100 congresistas cada una. Cada pareja de congresistas se conocen o no se conocen entre si. Demuestra que existen dos congresistas, de comisiones distintas, tales que la tercera comisión contiene a 17 congresistas que conocen a ambos, o 17 congresistas que no conocen a ninguno de ellos.

YA PUEDEN PONER SOLUCIONES

12 comentarios:

  1. Faltan un monton...
    normalmente encargan como 12

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  2. mas de 1 mes para que solo pasen 3?

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  3. pd, en el primero no falto por ahi algun "="?

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  4. si falta .. se lo puse.. no habia notado que no aparecio.. tal vez no lo acepta.. iwal.. es un DIVIDE A.. haha..

    mmm. traten d comentar el segundo.. me sale un triangulo degenerado.. y ps haber k roiio..

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  5. Ya puse mas problemas de la tarea, son los que manuel me conto, si hay errores culpen a manuel xD
    Lean la nota por favor.

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  6. aaa, gracias a daniel por la correccion y a isai por los problemas que manuel le conto pero a mi no :(
    xD

    y cuando son los proximos entrenamientos???

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  7. shale..

    pss... haha ya tengo soluciones para el de (m,n) y el de la desigualdad de los lads del triangulo..... apenas pongo el comment.. es k akabo d lograr de kitar a mi tia (si, david.. haha otravez mi tia) de la makina...

    weno... amm.. si AHORA MISMO SON LOS ENTRENAMIENTOS.... entonces, ya esta permitido postear las soluciones.. no??

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  8. Hasta que entreguen tarea, normalmente las entregan a medio entrenamiento.

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  9. Ya esta bien poner soluciones!!
    de una vez les digo que la respuesta del de las parejas (m,n) es (2,1) y todas las parejas de la forma (m,m^2-2), cuando tenga la solucion la pongo jeje

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  10. ea!!
    hahaha

    solucion al de a²+b²+c²=>4raiz(3)(ABC)

    tngo dos.. pongo la corta...

    definase R(n) como la raiz cuadrada de n. Sea > un => (por cuestiones de typing.. ya saben, la flojera)
    sea & un si y solo si.

    PD. a²+b²+c²>4R(3)(ABC)
    &

    a²+b²+c²>4R(3)(bcsenA)/2
    & a²+b²+c²>2R(3)(bcsenA)

    elevando al cuadrado:
    & (a²+b²+c²)²>4(3)(bc)²(sen²A)

    tenemos que sen²A=1-cos²A

    por ley de cosenos, cos²A= (b²+c²-a²)²/(2bc)²

    asi, sen²A= (2bc)²/(2bc)²- (b²+c²-a²)²/(2bc)²
    = [(2bc)²-(b²+c²-a²)²]/(2bc)²

    luego, continuando con la demostracion,
    & (a²+b²+c²)²>4(3)(bc)²(sen²A)
    & (a²+b²+c²)²>4(3)(bc)²[(2bc)²-(b²+c²-a²)²]/4(bc)²
    & (a²+b²+c²)²>3[(2bc)²-(b²+c²-a²)²]
    & a^4+b^4+c^4+2a²b²+2a²c²+2b²c²<3(4b²c²-b^4-c^4-a^4-2b²c²+2a²b²+2a²c²)

    & a^4+b^4+c^4+2a²b²+2a²c²+2b²c²>3(-a^4-b^4-c^4+2c²b²+2a²b²+2a²c²)

    & a^4+b^4+c^4+2a²b²+2a²c²+2b²c²>-3b^4-3c^4-3a^4+6b²c²+6a²b²+6a²c²

    & 4(a^4+b^4+c^4)>4(a²b²+a²c²+b²c²)

    & a^4+b^4+c^4>a²b²+a²c²+b²c²

    y por reacomodo, tenemos que la desigualdad anterior es verdadera, veamos:

    K={a²,b²,c²}
    M={a²,b²,c²}

    sabemos que a^4+b^4+c^4>a²b²+a²c²+b²c².

    QED

    haha si. esa fue la corta..

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