Problemin Camino a la IMO

Tenemos a dos jugadores de ping pong. Los dos jugadores son igual de buenos. En el juego alternan servicio cada 5 puntos. Supongamos que el que saca tiene ventaja. Digamos que el que saca gana 3 de cada 5 puntos en promedio. En caso de que el marcador llegue a 10-10, el juego se declara empate. La pregunta es: ¿Qué tanta ventaja tiene el jugador que saca primero?

Tareas Nacionales.

¡¡¡YA ESTÁN LOS PROBLEMAS QUE LES DEJARON DE TAREA A MANUEL Y KARINA!!!


Aqui están:


-Demostrar que 1+2+3+...+n DIVIDE A 1^k+2^k+3^k+...+n^k (con k impar)


- En un triángulo ABC, la altura, la bisectriz y la mediana desde uno de los vertices divide al ángulo en cuatro ángulos iguales. Encuentra los ángulos del triángulo.


-Encontrar todas las parejas de enteros positivos (m,n), tales que se cumpla:
raiz(m²-4) < 2raiz(n) - m < raiz (m²-2).

(Editado por Isaí)
Manuel tambien me contó de estos:
-Demostrar que si trazas una recta por el gravicentro de un triangulo, entonces la suma de las distancias en segementos dirigidos de los vertices hacia esa recta es 0.

-Sean a,b,c los lados de un triangulo demostrar que:
a^2+b^2+c^2>=4*(abc)*sqrt(3)

-En el congreso se forman 3 comisiones disjuntas de 100 congresistas cada una. Cada pareja de congresistas se conocen o no se conocen entre si. Demuestra que existen dos congresistas, de comisiones distintas, tales que la tercera comisión contiene a 17 congresistas que conocen a ambos, o 17 congresistas que no conocen a ninguno de ellos.

YA PUEDEN PONER SOLUCIONES

Solucion del problema del minimo

Aqui les cuento una solución corta (comparada con las soluciones que dieron el Yogui y Avila, usando una de mis identidades algebraicas favoritas!!!

Sean x,y,z números reales tales que x^3+y^3+z^3-3xyz=1. Encuentra el minimo de
x^2+y^2+z^2.

1. x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=1/2 [(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)]
=1 (por hipótesis)

2. Sea A=x+y+z y B=x^2+y^2+z^2. De 1. se ve que A > 0.

3. Entonces 1=A(B- [(A^2-B)/2] ) ( para ver esto, note que A^2-B=2(xy+yz+zx) )

4. Despejando, se obtiene que 3B=A^2 + 2/A= A^2+ 1/A + 1/A

5. Como A > 0 podemos aplicar MG-MA para ver que B >= 1 y el minimo se alcanza para (x,y,z)=(1,0,0)

Acerca de los resultados de los examenes de entrenamiento, creo que no haremos ningun corte, tal vez un segundo, pero nada mas. A los chihuahuenses no les fue muy bien que digamos (todavia faltan problemas por revisar), pero en general a todos les fue mal el segundo dia, asi que la diferencia no es muy grande, creo que Memo, Isai, Dosalin y Karina se pueden recuperar, hasta ahorita los tres hasta arriba son, el centro de Morelos, Bruno de Morelos y el de Oaxaca.